2024年高考数学综合提升卷【赢在寒假】江苏专用（一）班级_______姓名：_______考号：_______单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知是实数集，集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简集合A,B，根据补集、交集运算即可得解.【详解】，，，.故选：A2．已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（    ）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】在四边形中，若，则，且，即四边形为梯形，充分性成立；若当，为上底和下底时，满足四边形为梯形，但不一定成立，即必要性不成立；故是的充分不必要条件.故选：A3．把分别标有号、号、号、号的个不同的小球放入分别标有号、号、号的个盒子中，没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行计算即可.【详解】个小球放入个盒子，没有空盒子，则有两个小球放入同一个盒子，因此分为两类：第一类：号小球单独放入一个盒子，分步：第步，从号、号、号个小球中，选出个小球，放入与未被选中小球标号相同的盒子中，有种方法；第步，将未被选中的小球和号小球，分别放入另外个盒子中，有种方法.∴号小球单独放入一个盒子，有种方法.例如：第步，选出号、号小球放入号盒；第步，号小球放入号盒，号小球放入号盒.第二类：号小球与另一小球共同放入一个盒子，分步：第步，从号、号、号个小球中，选出个小球，有种方法；第步，将号小球与第步选出的小球放入与选出小球标号不同的盒子中，有种方法；第步，剩余的个小球，其中个，与剩余的两个空盒其中的个标号相同，只有方法放置.∴号小球与另一小球共同放入一个盒子，有种方法.例如：第步，选出号球；第步，将号、号小球放入号盒；第步，号小球放入号盒，号小球放入号盒.∴没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为种.故选：B.4．为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（    ）(参考数据：)A．14次 B．15次 C．16次 D．17次【答案】C【分析】依题运用特殊值求得函数模型中的值，然后运用函数模型得到关于的不等式，通过指、对运算求得的取值范围，即可得解．【详解】依题意，，，当时，，即，可得，于是，由，得，即，则，又，因此，所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．故选：C5．在平面直角坐标系中，已知直线，将与两坐标轴围成的直角三角形绕其斜边旋转一周，所得几何体的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得该直角三角形与坐标轴围成的三角形三边长，可知该几何体由两个圆锥组合，由圆锥的表面积公式计算即可.【详解】  如图所示，设直线与轴、轴分别交于A、B两点，易得，过O作OC⊥AB，由等面积法可得，则以AB为轴旋转一周所得的几何体为图示的两个圆锥组合而成，圆锥底面均为以C为圆心OC为半径的圆，故几何体的表面积为：.故选：C6．已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，点为椭圆上的两点，且，为中点，则的最小值为（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由椭圆的方程可得右焦点的坐标，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，再由题意可得直线，的斜率之积，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而求出直线，的斜率之积，可得参数的关系，求出的中点的轨迹方程，进而求出的最小值．【详解】由椭圆可得，，  所以，即，所以右焦点；因为，所以，当直线的斜率不存在时，设直线的方程，代入椭圆的方程可得，解得，设，，则，解得，这时的中点在轴上，且的横坐标为，这时的最小值为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，则的中点，，联立，整理可得：，△，即，且，，所以，，则，可得，符合△，可得的轨迹方程为，整理可得：，两式平方相加可得：，即的轨迹方程为：，焦点在轴上的椭圆，所以，当为该椭圆的右顶点时，取等号，综上所述：的最小值为，故选：D．7．已知函数，，若方程有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数的值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等比中项以及余弦函数的对称性列式求得，进而可得结果.【详解】如图，设方程的三个不同的实数根从小到大依次为，，则，解得，所以.故选：A.8．已知且且且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，利用导数研究其单调性后可得的大小.【详解】因为，故，同理，令，则，当时，，当时，，故在为减函数，在为增函数，因为，故，即，而，故，同理，，，因为，故，所以.故选：D．【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）9．已知复数，下列命题正确的是（    ）A． B．若，则C． D．若，则为实数【答案】AC【分析】根据复数的模长公式、共轭复数的定义以及复数的乘方，结合举反例，可得答案.【详解】对于A，设，则，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，设，，，，故C正确；对于D，设，，，当或时，，故D错误.故选：AC.10．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，AD=DE=4，为线段上的动点，则（    ）A．B．若为线段的中点，则平面C．点B到平面CEF的距离为D．的最小值为48【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的运算性质、平面的法向量进行求解判断即可.【详解】因为是矩形，所以，又因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，矩形所在平面与正方形相交于，所以平面，而平面，所以，而是正方形，所以，因此建立如下图所示的空间直角坐标系，则有，因为，所以有，因此选项A正确；当为线段的中点时，，，，设平面的法向量为，于是有，因为平面，所以选项B正确；，，所以点B到平面CEF的距离为，因此选项C正确；设，，，当时，有最小值47，因此本选项不正确，故选：ABC11．关于函数，下列判断正确的是（    ）A．函数的图像在点处的切线方程为B．是函数的一个极值点C．当时，D．当时，不等式的解集为【答案】ACD【分析】先对函数求导，得到，求出函数的图像在点处的切线方程，即判断A；根据时，恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出时，的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，，所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确；当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；当时，，由得；由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；因此，即；故C正确；当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.12．18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（    ）A．B．当时，C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大【答案】AC【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D.【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确；对于B,当时，，故B错误；对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，故由可知，C正确，D错误，故选：AC三、填空题（每小题5分，共计20分）13．用模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值为.【答案】/【分析】根据，两边取自然对数，转化为线性关系，和线性回归方程为比较，可得答案.【详解】由题意知，，故，设，求得线性回归方程为，两式相比较，，故答案为：14．若数列是等比数列，且是与的等差中项，则．【答案】2【分析】由数列是等比数列，及是与的等差中项，得出的值，再由即可得出答案．【详解】因为是与的等差中项，数列是等比数列，所以，即，解得，所以，故答案为：．15．已知直线与双曲线：的两条渐近线分别交于点，（不重合）线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】由已知结合直线垂直的斜率关系和直线过的点根据直线的点斜式方程得出线段的垂直平分线的方程，即可联立两直线得出的中点坐标为，设，，分别代入双曲线方程后作差整理得出，再根据线段中点与端点坐标关系与两点的斜率公式得出，，，即可得出，在根据双曲线离心率公式变形后代入即可得出答案.【详解】直线与线段的垂直平分线垂直，则线段的垂直平分线的斜率为，线段的垂直平分线过点线段的垂直平分线为：，即，联立，解得：即的中点坐标为，设，，则，两式作差可得，的中点坐标为，的斜率为1，，，，则，所以双曲线C的离心率．故答案为：.16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左､右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差为，则圆弧的半径为.【答案】120【详解】如图所示，设圆弧圆心为，半径为，三个小球的球心自左至右分别为，，，设，由题意可知，，且，即，所以，解得，故答案为：.四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）17．已知，．(1)若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值；(2)若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值．【详解】（1）因为，因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则，所以，解得，所以，所以.（2）由，函数的图象关于对称，所以，，所以，，由，，则，又函数在上单调，所以，解得，所以当时.18．已知数列（）满足，，且.(1)求数列是通项公式；(2)求数列的前n项和.【详解】（1）解：因为，所以，又，所以，所以，又，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以；（2）由（1）知，，所以，所以，，两式相减可得：，所以，故.19．春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是.(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望；(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率.【详解】（1）设一位顾客获得元奖券，则的可能取值为100，50，0，，，，所以每位顾客获得奖券金额的期望是（元）（2）设“该顾客中奖”为事件，参加项目A，，分别记为事件，，，则，所以，即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是.