焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡．上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足，则的虚部为（）A．5 B． C． D．3．若圆与轴相切，则（）A．1 B． C．2 D．44．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（）A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍6．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）A．48 B．32 C．24 D．167．已知函数有两个极值点p，q，若，则（）A． B． C． D．8．已知双曲线的右焦点为，过且与一条渐近线平行的直线与的右支及另一条渐近线分别交于B，D两点，若，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数，则（）A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称C．为偶函数 D．在上单调递增10．已知正三棱台中，的面积为，的面积为，，棱的中点为，则（）A．该三棱台的侧面积为30 B．该三棱台的高为C．平面 D．二面角的余弦值为11．甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A，B，C三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A，B，C的概率分别为0.5，0.3，0.2，当他负责工序A，B，C时，该项目达标的概率分别为0.6，0.8，0.7，则下列结论正确的是（）A．该项目达标的概率为0.68B．若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54C．若该项目达标，则甲负责工序A的概率为D．若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为12．已知抛物线的准线，直线与抛物线交于M，N两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（）A．若，则以为直径的圆与相交B．若，则为坐标原点）C．过点M，N分别作抛物线的切线，，若，交于点，则D．若，则点到直线的距离大于等于三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为_________．14．已知数列中，，且，则的前12项和为_________．15．已知正实数m，n满足，则的最大值为_________．16．若函数在上没有零点，则实数的取值范围为_________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（I）证明：；（II）若，求的值．18．（12分）如图所示，在三棱锥中，，，．（I）求证：平面平面；（II）若，求直线与平面所成角的正弦值．19．（12分）已知数列中，，．（I）求的通项公式；（II）若，求数列的前n项和．20．（12分）为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了次试验，假设小王每次试验成功的概率为，且每次试验相互独立．（I）若小王某天进行了4次试验，且，求小王这一天试验成功次数的分布列以及期望；（II）若恰好成功2次后停止试验，，以表示停止试验时试验的总次数，求．（结果用含有的式子表示）21．（12分）（I）求函数的极值；（II）若，证明：当时，．22．（12分）已知椭圆的离心率为，直线过的上顶点与右顶点且与圆相切．（I）求的方程．（II）过上一点作圆的两条切线，（均不与坐标轴垂直），，与的另一个交点分别为，．证明：（i）直线，的斜率之积为定值；（ii）．焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案A命题意图本题考查集合的表示、集合的运算．解析依题意，，，所以．2．答案B命题意图本题考查复数的基本运算．解析，虚部为．3．答案D命题意图本题考查圆的方程与性质．解析因为圆与轴相切，所以且，解得．4．答案B命题意图本题考查三角恒等变换、充要条件的判定．解析，显然，则，解得或．5．答案A命题意图本题考查平面向量的线性运算．解析设的中点为，因为，所以，所以点是线段的五等分点，所以的面积是的面积的5倍．6．答案C命题意图本题考查排列组合．解析1与4相邻，共有种排法，两个2之间插入1个数，共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，则总共有种密码．7．答案D命题意图本题考查导数的运算、指数的运算．解析依题意，，则即显然，，故，则，代入中，解得，则．8．答案C命题意图本题考查双曲线的方程与性质．解析易知的渐近线方程为，不妨设直线，联立方程得得，，则．而，故，代入中，得，则，故所求的渐近线方程为．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．答案AB命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析依题意，的最小正周期，则为的一个周期，故A正确；，故B正确；，不是偶函数，故C错误；在上单调递减，故D错误．10．答案BCD命题意图本题考查三棱台的结构特征．解析对于A，根据条件可得，，所以等腰梯形的高为，面积为，所以该三棱台的侧面积为，故A错误；对于B，设的中心为，的中心为，可知是直角梯形，，，，故B正确；对于C，分别延长棱，，交于点，易知为等边三角形，四面体为正四面体，恰好为的中心，所以平面，故C正确；对于，二面角即正四面体相邻侧面的夹角，由正四面体的性质可知其余弦值为，故D正确．11．答案ACD命题意图本题考查条件概率、全概率公式．解析记甲负责工序A为事件，甲负责工序B为事件，甲负责工序C为事件，该项目达标为事件．对于A，该项目达标的概率为，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确．12．答案BCD命题意图本题考查抛物线的方程、抛物线的性质、直线与抛物线的综合性问题．解析由题可得抛物线，设，．对于A，直线过的焦点，则以为直径的圆与相切，故A错误；对于B，直线，将代入，得，则，故，故B正确；对于C，抛物线在点处的切线方程为，抛物线在点处的切线方程为，联立两式，解得，故，故C正确；对于D，由抛物线的对称性进行临界分析，可知当轴时，点到直线的距离最小，此时，点到直线的距离为，故正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案命题意图本题考查空间几何体的结构特征．解析设圆锥（如图所示）的高为．因为，所以，母线．将圆锥沿展开所得扇形的弧长为，则扇形的圆心角为．14．答案命题意图本题考查数列的周期性、分组求和．解析依题意，故，所以，，，…，故的前12项和为．15．答案2命题意图本题考查基本不等式及其应用．解析依题意得，则，当且仅当时等号成立，则，解得，则的最大值为2．16．答案命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析令，显然，则，令，，则，令，得，，易知函数在和上单调递增，在和上单调递减，且极大值为，极小值为．由图象可知，当时，直线与曲线没有交点，即在上没有零点．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查正余弦定理及其应用、三角恒等变换．解析（I）由正弦定理及条件可得，由余弦定理可得，化简得．（II）由得，化简得，又，故，所以，故．18．命题意图本题考查空间面面的位置关系，向量法求空间角．解析（I）因为，所以，同理可得，故，因为，所以平面，因为平面，故平面平面．（II）以C为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．设为平面的法向量，则即令，得．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．19．命题意图本题考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法求和．解析（I）由，可得，故数列是以1为首项，为公差的等差数列，故，则．（II）由（I）可知，故．20．命题意图本题考查二项分布、相互独立事件的概率、互斥事件的概率．解析（I）依题意，，则，，，，故的分布列为：X01234P故．（II）方法一：设“停止试验时试验总次数不大于”，则，“次试验中，成功了0次或1次”，“次试验中，成功了0次”的概率；“次试验中，成功了1次”的概率．所以．方法二：事件“”表示前次试验只成功了1次，且第次试验成功，故，所以，利用错位相减法可得该式的结果为．21．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析（I）依题意，，令，解得，所以当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，而，故的极小值为0，无极大值．（II）由（I）可知，当时，，则．令，则，易知在上单调递增．因为，所以，，故，使得，即①．当时，，单调递减，当时，，单调递增，故②．由①可得，代入②，得，而，故，故，即原命题得证．22．命题意图本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题．解析（I）设椭圆的半焦距为．依题意，离心率，则，①．直线，即，由题可知②．联立①②，解得，，故的方程为．（II）（i）设过点且与圆相切的直线的方程为，则，整理得，记直线，的斜率分别为，，则，为定值．（ii）由（i）的过程可知直线，联立方程得则有，故．直线，同理可得．故，则．