焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡．上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合AxNx2x，Bxx3x0，则（）A．AÜBB．BÜAC．ABD．AB2．已知复数z满足zi56i，则z的虚部为（）A．5B．5C．5iD．5i22a3．若圆C:(x2)ya与x轴相切，则a（）2A．1B．2C．2D．414．“5cos25sin210”是“tan”的（）2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．已知△ABC所在平面内一点D满足DADBDC0，则△ABC的面积是△ABD的面积的2（）A．5倍B．4倍C．3倍D．2倍6．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）A．48B．32C．24D．167．已知函数f(x)exx21有两个极值点p，q，若q2p，则f(0)（）ln221A．1B．1C．1ln2D．12ln2ln2x2y28．已知双曲线C:1(a0,b0)的右焦点为F，过F且与一条渐近线平行的直线与C的右支及a2b2学科网（北京）股份有限公司另一条渐近线分别交于B，D两点，若FBBD，则C的渐近线方程为（）A．y2xB．y3xC．yxD．y2x二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．x9．已知函数f(x)2sin，则（）36A．12为f(x)的一个周期B．f(x)的图象关于直线x2对称C．f(x)为偶函数D．f(x)在[2,3]上单调递增10．已知正三棱台ABCA1B1C1中，△A1B1C1的面积为43，△ABC的面积为93，AA12，棱B1C1的中点为M，则（）26A．该三棱台的侧面积为30B．该三棱台的高为31C．AM平面BCCBD．二面角AABC的余弦值为111311．甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A，B，C三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A，B，C的概率分别为0.5，0.3，0.2，当他负责工序A，B，C时，该项目达标的概率分别为0.6，0.8，0.7，则下列结论正确的是（）A．该项目达标的概率为0.68B．若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.5415C．若该项目达标，则甲负责工序A的概率为345D．若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为8112．已知抛物线C:y22px(p0)的准线l:x，直线l:ykxm(k0)与抛物线C交于M，N两2点，P为线段MN的中点，则下列结论正确的是（）kA．若m，则以MN为直径的圆与l相交2B．若m2k，则OMON(O为坐标原点）C．过点M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，若l1，l2交于点A，则APl5D．若|MN|1，则点P到直线l的距离大于等于8三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．学科网（北京）股份有限公司2213．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为_________．314．已知数列an中，a11，且an1an110，则an的前12项和为_________．15．已知正实数m，n满足(m1)(mn)(1n)(1n)，则mn的最大值为_________．e16．若函数f(x)x(2x)e1x在(0,)上没有零点，则实数的取值范围为_________．x四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）sinBsinA已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4cosC0．sinAsinB（I）证明：a2b22c2；sin2B（II）若cosB，求cosA的值．sinAsinC18．（12分）AB如图所示，在三棱锥SABC中，SASC2，ACBC22，SB23．2（I）求证：平面SAC平面ABC；1（II）若DSBS，求直线CD与平面SAB所成角的正弦值．519．（12分）n已知数列an中，a12，an12an32．（I）求an的通项公式；2a(1n)（II）若bn，求数列b的前n项和T．n(3n1)n2nnn20．（12分）为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了n(n2)次试验，假设小王每次试验成功的概率为p(0p1)，且每次试验相互独立．1（I）若小王某天进行了4次试验，且p，求小王这一天试验成功次数X的分布列以及期望；3学科网（北京）股份有限公司1n（II）若恰好成功2次后停止试验，p，以Y表示停止试验时试验的总次数，求P(Yi)．（结果用2i2含有n的式子表示）21．（12分）（I）求函数f(x)ex1x的极值；（II）若a(0,1]，证明：当x0时，(x1)exa1lnxa．22．（12分）x2y234已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，直线l过C的上顶点与右顶点且与圆0:x2y2相a2b225切．（I）求C的方程．（II）过C上一点Ax0,y0作圆O的两条切线l1，l2（均不与坐标轴垂直），l1，l2与C的另一个交点分别为Mx1,y1，Nx2,y2．证明：（i）直线AM，AN的斜率之积为定值；（ii）x1x20．焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案A命题意图本题考查集合的表示、集合的运算．解析依题意，AxN0x1{0,1}，Bxx3x0{1,0,1}，所以AÞB．2．答案B命题意图本题考查复数的基本运算．56i解析z65i，虚部为5．i3．答案D命题意图本题考查圆的方程与性质．a2解析因为圆C与x轴相切，所以a且a0，解得a4．44．答案B命题意图本题考查三角恒等变换、充要条件的判定．学科网（北京）股份有限公司解析5cos25sin2103cos22sin25sincos0，显然cos0，则12tan25tan30，解得tan或tan3．25．答案A命题意图本题考查平面向量的线性运算．解析设AB的中点为M，因为CD2(DADB)，所以CD4DM，所以点D是线段CM的五等分点，所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍．6．答案C命题意图本题考查排列组合．21解析1与4相邻，共有A22种排法，两个2之间插入1个数，共有A22种排法，再把组合好的数全排3列，共有A36种排法，则总共有22624种密码．7．答案D命题意图本题考查导数的运算、指数的运算．ep2p0,ep2p,解析依题意，x，则即显然，，故p，则f(x)e2xq2pp0e2e2q0,e4p,11pln2，代入ep2p中，解得，则f(0)1．ln2ln28．答案C命题意图本题考查双曲线的方程与性质．by(xc),bba解析易知C的渐近线方程为yx，不妨设直线BD:y(xc)，联立方程得得aabyx,acbccbc3cbcx2y2，，则．而，故，代入中，得xyD,FBBDB,22122a22a44aab9c2c2c2b21，则21，故所求C的渐近线方程为yx．16a216a2a2a2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．答案AB命题意图本题考查三角函数的图象与性质．2解析依题意，f(x)的最小正周期T6，则12为f(x)的一个周期，故A正确；f(2)2，故13学科网（北京）股份有限公司xB正确；f(x)2sin，不是偶函数，故C错误；f(x)在[2,3]上单调递减，故D错误．3610．答案BCD命题意图本题考查三棱台的结构特征．264解析对于，根据条件可得，，所以等腰梯形的高为2，面积AA1B14AB6ABB1A1232(64)3为53，所以该三棱台的侧面积为533153，故A错误；2对于B，设△ABC的中心为O，△A1B1C1的中心为O1，可知OAA1O1是直角梯形，OA23，24324326O1A1，OO1223，故B正确；333对于C，分别延长棱AA1，BB1，CC1交于点P，易知△PBC为等边三角形，四面体PABC为正四面体，M恰好为△PBC的中心，所以AM平面BCC1B1，故C正确；1对于D，二面角AABC即正四面体相邻侧面的夹角，由正四面体的性质可知其余弦值为，故D正13确．11．答案ACD命题意图本题考查条件概率、全概率公式．解析记甲负责工序A为事件M1，甲负责工序B为事件M2，甲负责工序C为事件M3，该项目达标为事件N．对于A，该项目达标的概率为P(N)PM1PNM1PM2PNM2PM3PNM30.50.60.30.80.20.70.68，故A正确；PM1PNM1PM2PNM20.50.60.30.827对于，，故错BPNM1M2BPM1PM20.50.340PM1PNM10.50.615误；对于，，故正确；CPM1NCP(N)0.6834PM1PNM10.5(10.6)5对于，，故正确．DPM1NDP(N)10.68812．答案BCD命题意图本题考查抛物线的方程、抛物线的性质、直线与抛物线的综合性问题．2解析由题可得抛物线C:y2x，设Mx1,y1，Nx2,y2．学科网（北京）股份有限公司1对于A，直线l:ykx过C的焦点，则以MN为直径的圆与l相切，故A错误；2y2对于B，直线l:ykx2k，将x代入，得ky22y4k0，则yy4，故212y2y2OMONxxyy12yy0，故B正确；1212412对于C，抛物线C在点M处的切线方程为y1yx1x，抛物线C在点N处的切线方程为y2yx2x，联yy立两式，解得y12y，故APl，故C正确；A2P对于D，由抛物线的对称性进行临界分析，可知当MNx轴时，点P到直线l的距离最小，此时15xx，点P到直线l的距离为，故D正确．MN88三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．213．答案3命题意图本题考查空间几何体的结构特征．122解析设圆锥（如图所示）的高为h．因为12h，所以h22，母线332SA12(22)23．将圆锥沿SA展开所得扇形的弧长为2，则扇形的圆心角为．314．答案6命题意图本题考查数列的周期性、分组求和．11解析依题意an1，故