2024届高三下学期开学摸底考全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若全集，集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知：集合，，所以，所以，故B正确.故选：B.2．若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为，实部为，虚部为，因为，所以，，所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.故选：D3．在等比数列中，成等差数列，则（    ）A．3 B． C．9 D．【答案】C【解析】设的公比为，则由题意可知或，显然时，，无意义舍去；所以.故选：C4．放射性物质的半衰期的定义为：每经过时间，该物质的质量会衰减成原来的一半．由此可知，，其中为初始时物质的质量，为经过的时间，为半衰期，为经过时间后物质的质量．若某铅制容器中有，两种放射性物质，半衰期分别为，，开始时这两种物质的质量相等，100天后测量发现物质的质量为物质的质量的四分之一，则（    ）A． B． C．50 D．25【答案】A【解析】设开始时，两种物质的质量均为1，天后，两种物质的质量分别为，，则，，于是100天后有，，由，得，即，于是，所以.故选：A5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】将，两点分别代入抛物线方程，可得，解得，则，，解得，则，又抛物线的焦点，由题意可得，三点共线，则，即，解得.故选：D6．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵向量，，∴，∴，，∴向量与夹角的余弦值为.故选：A．7．已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正四棱锥的底面边长为，高为，则体积，所以，设球的半径为，则，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以球的表面积的最小值为.故选：B.8．已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则恒成立，所以在单调递增，所以当时，，即；令，则恒成立，所以在单调递增，所以当时，，即；由诱导公式得，所以，因此；因为，，故只需比较与的大小，由二项式定理得，，所以．综上，.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，都是正数，且，则下列说法正确的是（    ）．A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最大值为【答案】ABD【解析】对A：可得，当且仅当，即，时成立，故A选项正确；对B：由，得，所以，故，当且仅当时成立，故B选项正确；对C：，由A知，所以，仅当，即，时成立，故C选项错误；对D：由A知，所以，当且仅当，即，时成立，故D选项正确．故选：ABD．10．已知由样本数据（）组成的一个样本，得到经验回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（    ）A．相关变量，具有正相关关系B．去除异常数据后，新的平均数C．去除异常数据后的经验回归方程为D．去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变小【答案】AC【解析】A选项，因为回归方程的斜率为正，所以相关变量，具有正相关关系，所以A正确；B选项，因为，所以去除两个异常数据和后，得到新的，所以B错误；C选项，由代入得，故去除两个异常数据和后，，因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以，所以去除异常数据后的经验回归方程为，故C正确；D选项，因为经验回归直线的斜率为正数，所以变量，具有正相关关系，且去除异常数据后，斜率由增大到3，故值增加的速度变大，D错误.故选：AC．11．已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为.若、为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（    ）A．三角形面积的最大值为B．三棱锥体积的最大值C．四面体外接球表面积最小值为D．直线与平面所成角余弦值最小值为【答案】ABD【解析】选项A，由母线长为，高为，可得底面半径为，设是底面圆的一条直径，则，即是钝角，又，则存在点、，当时，，三角形面积的最大值为，故A正确；选项B，因为，则当面时，，故B正确；选项C，设的外接圆半径为，因为与底面垂直，所以，四面体外接球半径满足，若外接球表面积的最小，即外接球的半径最小，又，即在底面圆中，的外接圆半径最小，由正弦定理，，则无最大值，的外接圆半径无最小值，即四面体外接球表面积无最小值，故C错误；选项D，设点到平面的距离为，直线SP与平面所成角的正弦值为，则当面时，，此时直线与平面所成角的余弦值最小，最小值为，故D正确；故选：ABD.12．已知双曲线的离心率为，，是双曲线的两个焦点，经过点直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则（    ）A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为C．线段的长为 D．是直角三角形【答案】BCD【解析】∵，∴，即：，，∴渐近线方程为，故A错误；经过点直线垂直于双曲线的一条渐近线，不妨设直线的斜率为，设直线的方程为，，消去x得，则，设，，则，，所以，解得，即：，故双曲线C的实轴长为6，故B正确；因为，，所以8，故C正确；因为，，，所以双曲线方程为，直线的方程为，，消去x得，则或，又，，此时，所以，所以是直角三角形，故D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知的二项式系数和为256，则展开式中含项的系数为．【答案】112【解析】因为二项式系数和为256，所以，即，所以，令，则，所以展开式中含项的系数为112.14．已知，，则.【答案】0【解析】易知，因为，若，显然，上式恒成立，若，则，所以，无解，综上可知.15．已知圆与圆有3条公切线，则的值为．【答案】【解析】由题可得，圆，圆心为，半径为2；圆，圆心为，半径为1．因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，故圆心距，解得．16．设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由函数，若不等式，即，因为，可化为，令，可得，令，可得，所以在R上单调递增，又由，所以存在唯一的使得，当时，，可得，所以单调递减，当时，，可得，所以单调递增，且，又因为，所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有，解得，即实数的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求；（2）若D是边上一点，，且，求的面积，【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，将代入得，，化简得，即，则；（2）由（1）知，则，则在中，由，解得，所以，解得，则，故的面积.18．（12分）已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列.（1）求数列和的通项公式.（2）记，求数列的前项和.（3）记，求.【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）当时，，解得.当时，，所以，即是以首先，公比为的等比数列，即.因为，成等比数列，所以，即，解得.所以.（2）由（1）得，则（3），因为，设，前项和为，则，，.所以19．（12分）如图，在多面体中，四边形是矩形，，平面，为的中点，，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接交于点，连接，因为四边形为矩形，则为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）因为，所以，又，所以，因为平面，平面，所以，，以A为坐标原点，以，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，所以，，．设平面的法向量为，则令，解得，，所以，设平面的法向量为，则令，解得，，所以．设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面的夹角的余弦值为．20．（12分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：月份12345带货金额/万元350440580700880（1）求变量，之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额．（2）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：参加过直播带货未参加过直播带货总计女性2530男性10总计请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关．参考数据：，，，，．参考公式：线性回归方程的斜率，截距．附：，其中．0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024【答案】（1）；预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元（2）列联表见解析，参加直播带货与性别有关【解析】（1）因为，，，，所以，，所以变量，之间的线性回归方程为，当时，（万元）．所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元．（2）补全完整的列联表如下．参加过直播带货未参加过直播带货总计女性25530男性151025总计401555零假设：参加直播带货与性别无关，根据以上数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验我们推断不成立，即有90%的把握认为参加直播带货与性别有关.21．（12分）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过，（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在．证明：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）将，，代入到，可得，解得，所以椭圆的方程为：．（2）由题意可知，蒙日圆方程为：．（i）若直线斜率不存在，则直线的方程为：或．不妨取，代入中，则，不妨取，，，，∴．（ii）若直线斜率存在，设直线的方程为：，联立，化简整理得：，据题意有，于是有：，设（），（），联立，化简整理得：，，，，则，∵，所以．综上可知，为定值.22．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若且，求证：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由题意得函数定义域为，当时，，则令，得，故在上单调递增；令，得，故在上单调递减；当时，，则当时，，故在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，则当时，，故在上均单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，等号仅在时取到，在上单调递增；当时，，则当时，，故在上均单调递增；当时，，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上均单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上均单调递增，在上单调递减；（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，为函数的最大值点；若且，不妨设，则可得，要证明，只需证，此时，故只需证，即证；令，而，则，因为，所以恒成立，故在上单调递减，故，即，即，故得证.