如皋市2024届高三1月诊断测试数学参考答案2024.01一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案DBBADAAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分.题号91011答案ACDBCDABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.题号1213①13②14答案9616349a0或a…832713四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）13a13（1）f(x)alnxx1，则f(x)，2x2x2x22又f(1)0，故可得a20，解得a2；13(3x1)(x1)（2）由(1)可知，f(x)2lnxx1，f(x)，2x22x21令f(x)0，解得x，x1，13211又函数定义域为(0,)，故可得f(x)在区间(0,)和(1,)单调递减，在区间(,1)单调递增.331故f(x)的极大值为f(1)0，f(x)的极小值为f()22ln3.316.（15分）32332131（1）X的可能取值为1，2，3，P(X1)，P(X2)，P(X3)，5541054310故抽取次数X的概率分布为：X123331P510103313E(X)123.510102333（2）每次检验取到新球的概率均为，故X~B5,，所以E(X)53.555高三1月诊断测试数学参考答案第1页共4页{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}17.（15分）（1）证明：因为AC2BC2，所以BC1，因为2CAB，所以CAB.3612BCAC在ABC中，，即sinB，sinAsinBsin6所以sinB1，即ABBC.又因为平面ABC平面B1C1CB，平面ABC平面B1C1CBBC，AB平面ABC，所以AB平面B1C1CB.又B1C平面B1C1CB，所以ABB1C，在BBC中，BB2，BC1，CBB，1113222所以B1CB1BBC2B1BBCcos3，即BC3，31所以B1CBC.而ABB1C，AB平面ABC，BC平面ABC，ABBCB，所以B1C平面ABC.又平面，所以平面平面B1CACB1ABCACB1.（2）在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，以C为坐标原点，分别以CA，CE，CB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，13则C(0,0,0)，B(,,0)，A(2,0,0)，B(0,0,3)，2211333所以P(,,0)，A(,,3)，44122533所以AP(,,3)，144平面ACB1的一个法向量为n(0,1,0)，设直线A1P与平面ACB1所成的角为，则直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值为：高三1月诊断测试数学参考答案第2页共4页{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}33|A1Pn|433sin|cosAP，n|.1|AP||n|25271013161618.（17分）1（1）解：设直线AB的方程为y2xt，与y24x联立得y22y2t0，48t0，得t，2设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则y1y22，y1y22t，1所以xx(yy2t)1t，12212由题意知F(1,0)，因为，，，，FAFBFC0FA(x11,y1)FB(x21,y2)FC(x31,y3)所以(x1x2x33,y1y2y3)(0,0)，所以x1x2x33,y1y2y30,，所以x32t,y32,，即点C的坐标为(2t,2)，代入抛物线E的方程得：44(2t)，解得t1，满1足条件t，2所以直线AB的方程为2xy10.（2）证明：设直线BC的方程为xmyn，与y24x联立得y24my4n0，2216(mn)0，所以nm，y2y34m，y2y34n，2所以x2x3m(y2y3)2n4m2n.2由(1)知x1x2x33,y1y2y30,，所以x134m2n,y14m.，即点A的坐标为(34m22n,4m).3又点A在抛物线y24x上，所以16m24(34m22n)，所以n4m2，221又nm2，所以m，所以点A的横坐标34m22n4m22，2同理可证，B，C两点的横坐标也小于2.所以ABC三个顶点的横坐标均小于2.19.（17分）（）解：对于①，设，则可得，所以线性相关；1k1k20k12k20,高三1月诊断测试数学参考答案第3页共4页{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}对于②，设，则可得，所以，k1k2k30k12k25k30k12k2k30k12k24k30k12k20k30，所以,,线性相关；对于③，设k1k2k3k40，则可得k1k2k40k1k3k40k2k3k40，解得1kkkk，所以,,,线性相关；12324（2）解：设k1()k2()k3()0，则(k1k3)(k1k2)(k2k3)0，因为向量，，线性无关，所以k1k30k1k20k2k30，解得k1k2k30，所以向量，，线性无关，（）①，如果某个，，，⋯，，3k11k22kmm0ki0i12m则，k11k22ki1i1ki1i1kmm0因为任意m1个都线性无关，所以k1，k2，⋯ki1，ki1，⋅⋅⋅，km都等于0，所以这些系数k1，k2，⋅⋅⋅，km或者全为零，或者全不为零，②因为l10，所以l1，l2，⋅⋅⋅，lm全不为零，ll所以由可得2m，l11l22lmm012ml1l1ll代入可得k(2m)kk0，k11k22kmm012m22mml1l1l2lm所以(k1k2)2(k1km)m0，l1l1l2lm所以k1k20，⋯，k1km0，l1l1kkk所以12m.l1l2lm高三1月诊断测试数学参考答案第4页共4页{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}