专题05导数大题解题秘籍导函数与原函数的关系单调递增，单调递减极值极值的定义在处先↗后↘，在处取得极大值在处先↘后↗，在处取得极小值两招破解不等式的恒成立问题(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.(1)分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．(2)函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．常用函数不等式：①，其加强不等式；②，其加强不等式.③，，放缩，利用导数证明不等式问题：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可.证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明（或）：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（2）证明（或）（、都为正数）：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.模拟训练一、解答题1．（23·24上·郴州·一模）已知函数.(1)若曲线在处切线与轴平行，求；(2)若在处取得极大值，求的取值范围.2．（22·23下·烟台·三模）已知函数，其中．(1)讨论方程实数解的个数；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．3．（22·23·广州·三模）已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)讨论函数的零点个数．4．（23·24上·宁波·一模）已知函数（e为自然对数的底数，）.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，5．（22·23下·镇江·三模）已知函数.(1)若有两个极值点.求实数的取值范围.(2)在（1）的条件下，求证：.6．（22·23下·无锡·三模）已知函数.(1)求的极值；(2)求证：.7．（22·23下·浙江·二模）设，已知函数有个不同零点.(1)当时，求函数的最小值：(2)求实数的取值范围；(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.8．（22·23下·苏州·三模）设函数.(1)从下面两个条件中选择一个，求实数的取值范围；①当时，；②在上单调递增.(2)当时，证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大.9．（22·23下·江苏·三模）已知函数，.(1)若与的图象恰好相切，求实数a的值；(2)设函数的两个不同极值点分别为，（）.（i）求实数a的取值范围；（ii）若不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数）10．（22·23下·河北·三模）已知函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若为函数的导函数，有两个零点．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：．11．（22·23·深圳·二模）已知函数的图象在处的切线经过点.(1)求的值及函数的单调区间；(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.12．（22·23下·长沙·三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若有三个零点，且在处的切线经过点，，求证：.13．（22·23下·湖南·二模）已知函数．(1)求的最小值；(2)证明：方程有三个不等实根．14．（22·23下·长沙·二模）已知函数.(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；(2)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”.若时，函数是“恒切函数”，求证：.15．（22·23下·湖北·三模）已知函数(1)求函数的单调区间；(2)若，在内存在不等实数，使得，证明：．16．（22·23下·武汉·三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．17．（22·23·保定·二模）已知函数，其中常数，是自然对数的底数．(1)若，求的最小值；(2)若函数恰有一个零点，求a的值．18．（22·23下·武汉·三模）已知，其中.(1)若，讨论的单调性；(2)已知是的两个零点，且，证明：.19．（22·23下·黄冈·二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，设两实数，其中，且.证明：.20．（22·23·德州·三模）已知函数，其中．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．21．（22·23·日照·三模）已知函数有三个零点.(1)求的取值范围；(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.22．（22·23·菏泽·三模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(3)若，且在上恒成立，证明：．23．（22·23·沧州·三模）已知函数，.(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)证明：对任意的，，为自然对数的底数.24．（22·23·三明·三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明：.25．（22·23·厦门·三模）已知函数.(1)若，设，讨论函数的单调性；(2)令，若存在，使得，求的取值范围.26．（22·23·龙岩·二模）已知函数，．(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；(2)若，且，证明：．27．（22·23下·温州·三模）已知函数.(1)证明：函数在上有且只有一个零点；(2)当时，求函数的最小值；(3)设，若对任意的恒成立，且不等式两端等号均能取到，求的最大值.28．（22·23下·浙江·二模）已知函数，．(1)求证：；(2)若函数有三个不同的零点，，．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）求证：．29．（22·23下·绍兴·二模）设函数，其中.(1)当时，求函数的值域；(2)设，当时，①证明：函数恰有两个零点；②若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.30．（22·23下·浙江·三模）已知函数.(1)令，讨论的单调性；(2)证明：；(3)若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.31．（22·23下·江苏·三模）已知函数，．(1)若，证明：当时；(2)当时，，求a的取值范围．32．（22·23·保定·二模）已知函数．(1)当时，求在点处的切线方程．(2)若的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．33．（22·23·深圳·二模）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)①当时，试证明函数恰有三个零点；②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明.34．（22·23·衡水·一模）已知函数，其中.(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.35．（22·23下·广州·三模）已知函数，.(1)讨论零点的个数；(2)当时，若存在，使得，求证：.36．（23·24上·永州·一模）已知函数．(1)当时，求证：；(2)若时，，求实数的取值范围．37．（22·23下·襄阳·三模）已知：函数，且，.(1)求证：；(2)设，试比较，，，的大小.38．（22·23·潍坊·三模）已知函数有两个极值点．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．39．（22·23·山东·二模）已知函数在点处的切线方程为．(1)求，；(2)若函数有两个零点，，且，证明：．40．（22·23·宁德·二模）已知函数．(1)当且时，求函数的单调区间；(2)当时，若函数的两个极值点分别为，，证明：．