专题14立体几何小题综合解题秘籍立体几何基础公式所有椎体体积公式：，所有柱体体积公式：，球体体积公式：球体表面积公式：，圆柱：圆锥：长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式已知长宽高求体对角线：已知共点三面对角线求体对角线：棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.欧拉定理(欧拉公式)(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.5．空间的线线平行或垂直设，，则；.夹角公式设，b＝，则.6．异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）7．直线与平面所成角，(为平面的法向量).8..二面角的平面角（，为平面，的法向量）.异面直线间的距离(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.模拟训练一、单选题1．（22·23下·无锡·三模）已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是（    ）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】A【分析】设出、、的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断B，C，D；根据线面关系判断A.【详解】设平面、、的法向量分别为、、，直线，的方向向量为，，对于A：若，，则或，故A错误；对于B：若，则，又，则，所以，则，故B正确；对于C：若，，则，，又，则，所以，则，故C正确；对于D：因，，则，，因此向量、共面于平面，令直线的方向向量为，显然，，而平面，即、不共线，于是得，所以，故D正确.故选：A2．（22·23·宁德·二模）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据长方体的几何性质，结合在直线三角形中锐角三角函数，求得棱长，利用异面直线夹角的定义，根据余弦定理，可得答案.【详解】由题意，可作图如下：则，，设，在中，易知，在中，，，，在长方体中，易知，则为异面直线与的夹角或其补角，在中，，则，同理可得，，由余弦定理，则.故选：C.3．（22·23下·长沙·三模）已知平行六面体的各棱长都为，，、、分别是棱、、的中点，则（    ）A．平面B．平面平面C．平面与平面间的距离为D．直线与平面所成角的正弦值为【答案】A【分析】证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断A选项；利用反证法结合面面垂直的性质定理可判断B选项；利用勾股定理可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，连接、、，在平行六面体中，且，所以，四边形为平行四边形，所以，，因为、分别为、的中点，则，所以，，因为平面，平面，所以，平面，同理可证且，因为且，、分别为、的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，故且，所以，且，故四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以，平面.因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，所以，平面，A对；对于B选项，连接、、，由题意可知，，，则为等边三角形，所以，，同理可得，故三棱锥为正四面体，设点在平面内的射影点为点，则为等边的中心，易知点不在直线上，若平面平面，过点在平面内作，垂足为点，  因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，但过点作平面的垂线，有且只有一条，矛盾，假设不成立，B错；对于C选项，连接，则，且，因为平面，平面，则，故，故平面与平面间的距离为，C错；对于D选项，连接，因为平面，所以，与平面所成的角为，且，所以，直线与平面所成的角的正弦值为，D错.故选：A.4．（22·23下·湖北·三模）如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】将两个单位正方体叠放在一起可构造模型，确定三个平面的位置后，由线面垂直可得两个平面的法向量，根据法向量夹角可确定所求角的余弦值.【详解】如图，把两个单位正方体叠放在一起，  平面，平面，平面分别代表第一，二，三个平面，四边形为正方形，，平面，平面，，，平面，平面；同理可得：平面；平面的法向量为，平面的法向量为，，，，，即与的夹角为，所求锐二面角的大小的余弦值是.故选：C．5．（22·23下·黄冈·二模）已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的外接球上，分别是和的中点，，，当取得最大值时，三棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由球的性质可得，为外接球直径，由条件证明平面，平面，解三角形求，结合锥体体积公式求三棱锥的体积.【详解】依题意，当为外接球直径时，最大，，，因为分别是和的中点，所以为的中位线，，又，故，因为，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以所以为直角三角形，所以，所以.故选：D.  6．（22·23·潍坊·三模）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为（    ）（注：1丈尺）A．11676立方尺 B．3892立方尺C．立方尺 D．立方尺【答案】B【分析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．【详解】如图所示，正四棱锥的下底边长为二丈，即尺，高三丈，即尺；截去一段后，得正四棱台，且上底边长为尺，所以，解得，所以该正四棱台的体积是（立方尺）．故选：．7．（22·23·山东·二模）正四棱柱中，，为底面的中心，是棱的中点，正四棱柱的高，点到平面的距离的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设底面四边形的中心为，连接，则，设点到平面的距离为，利用等体积法求解即可.【详解】设底面四边形的中心为，连接，则，设点到平面的距离为，，，则中，边上的高为，则，由，得，所以，由，得，则，则，所以，即点到平面的距离的取值范围是，所以点到平面的距离的最大值为.故选：C.8．（22·23·福州·三模）如图，在圆台OO1中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，，点D是BC的中点，l为平面与平面的交线，则交线l与平面所成角的大小为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】由线面平行的性质定理可证得，所以直线l与平面所成角即直线与平面所成角，由线面垂直的判定定理可证得平面，过点作交于点，易证得平面，所以为交线l与平面所成角，求解即可.【详解】因为，因为，D分别是，BC的中点，所以，所以平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，，所以，所以直线l与平面所成角即直线与平面所成角，因为为直径，所以，因为，即，又因为平面，平面，所以，平面，所以平面，过点作交于点，因为平面，所以，，，平面，所以平面，所以为交线l与平面所成角，因为，，.所以，结合图知.故选：B.  9．（22·23下·浙江·二模）在平行四边形中，角，将三角形沿翻折到三角形，使平面平面.记线段的中点为，那么直线与平面所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理，则，，，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法解决线面角问题.【详解】，由余弦定理，，则，，，平面平面，，，以为原点，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则有，令，有，，即，，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A10．（22·23下·盐城·三模）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据线面位置关系和余弦定理以及同角三角函数基本关系式即可求解.【详解】  连接，容知，,所以平面平面,M与平面的距离保持不变，点M的移动轨迹为三角形的三条边，当M为中点时，直线与平面所成角正弦值最大，  取的中点，设正方体的棱长为2，所以，，，所以,所以为直角三角形，  所以直线与平面所成角正弦值为,当M为C点时，当M为中点时，直线与平面所成角的正弦值最小，此时，，，  所以，.直线与平面所成角正弦值的取值范围是，故选：A.11．（22·23·衡水·一模）已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由线面平行性质可知，结合棱台和棱柱体积公式可求得，由相似关系可求得结果.【详解】平面，平面平面，平面，；设的面积为，的面积为，三棱柱的高为，三棱台的体积，又三棱柱的体积，，解得：（舍）或，∽，，即.故选：A.12．（22·23·保定·二模）如图，在长方体中，，，对角线与平面交于点．则与面所成角的余弦值为（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，解得平面的法向量为,,，,1,，设，则,,，，解得，可得坐标，平面的法向量为,1,，设与平面所成角为，则，进而可得答案．【详解】如图，建立空间直角坐标系：  ,1,，,1,，设平面的法向量为,,，则，令，则，，所以,2,，又,1,，因为点在上，设,,，所以,,，所以,,，因为面，所以，所以,,,2,，所以，解得，所以,,，平面的法向量为,1,，设与平面所成角为，所以，所以，故选：D．13．（2023·遂宁·三模）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法不正确的是（    ）A．当运动时，二面角的最小值为B．当运动时，三棱锥体积不变C．当运动时，存在点使得D．当运动时，二面角为定值【答案】C【分析】对A：建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角夹角的余弦值，根据其范围，即可判断；对B：利用棱锥体积公式，即可求得三棱锥的体积，即可判断.对C：由反证法判断；对D：平面即为平面，平面即为平面，从而得出二面角为定值.【详解】对A：建立如图所示的空间直角坐标系，则．因为在上，且，，可设，则，则，设平面的法向量为，又，所以，即，取，则，平面的法向量为，所以．设二面角的平面角为，则为锐角，故，因为，在上单调递减，所以，故，当且仅当时，取得最大值，即取最小值，故A说法正确．对B：因为，点A到平面的距离为，所以体积为，即体积为定值，故B说法正确．对C：若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，故C说法错误．对D：连接，平面即为平面，而平面即为平面，故当运动时，二面角的大小保持不变，故D说法正确．故选：C14．（22·23·黄山·二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形，，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥，使与重合，与重合，与重合，与重合，点重合于点，如图2.则正四棱锥体积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先确定原图中哪一条线段是侧棱，哪条线段是底边，再设立变量，求出体积关于变量的函数解析式，求导，根据函数的单调性求解.【详解】根据题意，PG是侧棱，底面EFGH的对角线的一半是GC，设，则有，，四棱锥的高，底正方形的面积，四棱锥P-EFGH的体积，令，则，，则，当时，，V单调递减；当时，V单调递增，∴当时，V取最大值，.故选：D.15．（22·23下·绍兴·二模）如图，为直角梯形，.连，将沿翻折成三棱锥，当三棱锥外接球表面积的最小值时，二面角的余弦值为（    ）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】由题可得为等边三角形，设的中心为，的中点为，三棱锥外接球的球心为，根据球的性质可得与重合时适合题意，进而即得.【详解】因为为直角梯形，，所以，为等边三角形，为直角三角形，设的中心为，的中点为，三棱锥外接球的球心为，则平面，平面，因为，所以三棱锥外接球表面积的最小,即外接球的半径最小时，即与重合，此时平面即平面，平面，故平面平