四川省大数据精准教学联盟2021级高三第一次统一监测理科数学答案解析与评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的并集运算等基础知识；考查数学抽象、数学运算等数学核心素养。111【解析】集合A=x|-10时，->0，若022-x+122x+13时，x3-3x>0，则f(x)<0，B不符题意，故选A．8．【答案】A【考查意图】本小题设置数学学习情境，考查指数式与对数式的互化、指数函数与对数函数的图象和性质等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。【解析】依题意，a=log3π>1；b=log43，且02e4log3，所以b>c，故a>b>c．2e9．【答案】C【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查两角和的正弦公式，正弦型函数图象与性质等基础知识；考查数形结合思想，应用意识；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。ππππ【解析】由fx=3sinωx+cosωx=2sinωx+，当0≤x≤1，≤ωx+≤ω+，函66663ππ5π4π数fx在区间[0,1]上恰好有两个最值，由正弦函数的图象知≤ω+<，得≤ω<26237π．310．【答案】B【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，以正方体为载体，主要考查空间点、线、面位置关系、直线与平面所成的角等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。第2页，共11页{#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#}【解析】易知平面α为平面AB1D1或与其平行的平面，M只能为三角形或六边形．当M为三角形323时，其面积的最大值为×(2)=；当M为六边形时，此时的情况如图所示，设KD=x，42则AK=1-x，KL=2(1-x)，KM=2x，依次可以表示出六边形的边长，如图所示：六边形可6由两个等腰梯形构成，其中LP⎳KO⎳MN，KO=2，两个等腰梯形的高分别为1-x，26161632x，则S=2x+2⋅1-x+21-x+2⋅x=(-2x+2x+2四边形LKOP22222123311)=-3x-+，当且仅当x=时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积2423最大，最大值为3．4P11．【答案】C【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查数学运算、逻辑推理及直观想象等数学核心素养。【解析】yAF1F2OxB3o该双曲线的渐近线方程为y=±x，则∠AOB=60，若△OAB为直角三角形，则只可能3∠OAB=90o或者∠OBA=90o，这两种情况对称，面积相同，只研究一种情况即可．如图所示，o在Rt△OAF1中，有|AF1|=b=1，|OF1|=c=2，|AO|=a=3．又∠AOB=60，|OB|=23，33|AB|=3，所以S=．△OAB212．【答案】A【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，设计函数与方程、导数综合应用问题，主要考查利用导数研究函数性质等基础知识；考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等思想方法，考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。第3页，共11页{#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#}【解析】依题意，f(x)=(x+2)ex，可知x<-2时，f(x)<0，x>-2时，f(x)>0，则x=1-2时，f(x)取得极小值f(-2)=-，也即为最小值；又g(x)=lnx+a+1，0e-a-1时，g(x)>0，则x=e-a-1时，g(x)取得极小值g(e-a-1)=-e-a-1，也即为1xg(x)最小值．由-=-e-a-1，解得a=1．因为f(x)=g(x)=t(t>0)，所以(x+1)e1=xe2121211+lnt1+lnt(lnx2+1)=t(t>0)，可知x1>-1，x2>，且x1=lnx2，所以22=22=e(x1+1)x2(lnx2+1)x21+lnt1+lnt-1-2lnt-1-1，令h(t)=(t>0)，则h(t)=，当00，当t>e2，h(t)t2t2t3-1-1e<0，故t=e2时，h(t)取极大值h(e2)=，也即为最大值．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．1313．【答案】-i22【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查复数的概念及除法运算等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养。2213【解析】==-i．z1+3i2214．【答案】27【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查等差数列的性质、前n项和等基础知识；考查数学运算等数学核心素养。9a+a【解析】a为等差数列，a+a=a+3得a+a=a+3，所以a=3，则S=19=9an4765665925=27．2615．【答案】3【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，考查空间点、线、面位置关系、直线与平面所成的角、三棱锥的体积公式等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。【解析】如图，取AB的中点F，连接DF，与AE交于点H．由翻折前后的不变性可知，PH⏊AE．由已知，四边形DEFA为正方形，则DF⏊AE，AE⏊平面PDF，所以∠PHF为平面PAE与平面ABCE所成角的平面角；且平面ABCE⏊平面PDF，即P在平面ABCE上的射影O在直线DF上（点O在线段DH或HF上均可）．由题意可知，在Rt△PHO中，∠PHO=60°，PH=2，则第4页，共11页{#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#}61626PO=，又S=4，则V=××4=．2△ABCP-ABC32316．【答案】y=±x+1【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与抛物线的位置关系载体，考查抛物线的定义、标准方程和几何性质、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。【解析】yACHMBOxx2如图，设M(x,0)，设AB与MC交于H．AB⏊MC，Rt△ACM中，AH∙MC=AC∙0422MA=2MA=2CM-4，而AB=2AH，则AB∙MC=2AH∙MC=4CM-4，当x22x4x2CM最小时，AB∙MC取最小值．而CM=x-02+0-3=0-0+9=041621x2-42+8，当且仅当x2=4时，取得最小值，此时M(±2,1)．此时，AB的直线方程为y1600=±x+1．2222亦可构造一个以M为圆心，MA为半径的圆：x∓2+y-1=4，与圆C:x+y-3=4的方程相减，可得AB的直线方程：y=±x+1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）【考查意图】本小题设置生活实践情境，设计果苗病虫害调查相关的概率与统计问题，主要考查离直方图识别、统计量计算和概率等基础知识；考查数据分析、数学建模及数学运算等数学核心素养。【解析】（1）由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：h=0.02×5×22.5+0.05×5×27.5+0.06×5×32.5+0.04×5×37.5+0.02×5×42.5+0.01×5×47.5=33(cm)．4分（2）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间[30,45)的频率为：(0.06+0.04+0.02)×5=0.6．所以，估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间[30,45)的概率为0.6．8分（3）设从苗圃中任选一棵高度位于区间[40,50)的果苗为事件A，该棵果苗受到这种病虫第5页，共11页{#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#}P(AB)3%×(0.02+0.01)×5害为事件B，则P(B|A)===0.0225．12分P(A)20%18．（12分）【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查