2023~2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（）A． B．1 C．2 D．43．已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（）A． B． C． D．4．在中，，则的面积为（）A．2 B． C．4 D．5．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知正方形的四个顶点都在椭圆上，粗圆的两个焦点分别在边和上，则该粗圆的离心率为（）A． B． C． D．7．甲、乙、丙三个地区分别有的人患了流感，且构成以1为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（）A．1.21 B．1.34 C．1.49 D．1.518．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知等差数列的前项和为，则（）A．的最小值为1 B．的最小值为1C．为递增数列 D．为递减数列10．在长方体中，为的中点，则（）A． B．平面C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为11．通信工程中常用元数组表示信息，其中或．设表示和中相对应的元素（对应，）不同的个数，则下列结论正确的是（）A．若，则存在5个5元数组，使得B．若，则存在12个5元数组，使得C．若元数组，则D．若元数组，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则______．13．底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为的圆锥，所得的圆台的侧面积为______．14．在平面直角坐标系中，整点（横坐标与纵坐标均为整数）在第一象限，直线，与分别切于两点，与轴分别交于两点，则使得周长为的所有点的坐标是______．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数是的零点．（1）求的值；（2）求函数的值域．16．（15分）如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面在上，且．（1）证明：平面；（2）若为的中点，且，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：外向型内向型男性4515女性2010（1）以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为，求的数学期望．（2）对表格中的数据，依据的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．附：参考公式：．0.10.050.012.7063.8416.63518．（17分）已知双曲线，动直线与轴交于点，且与交于两点，是的等比中项，．（1）若两点位于轴的同侧，求取最小值时的周长；（2）若，且两点位于轴的异侧，证明：为等腰三角形．19．（17分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求证：；（3）若且，求证：．2023~2024学年福州市高三年级2月份质量检测数学试题参考答案（完卷时间120分钟；满分150分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【答案】A【解析】集合包含所有小于1的实数，包含和1两个元素，所以．2．【答案】B【解析】将点代入，可得，故的焦点到其准线的距离为1．3．【答案】D【解析】依题意，设，又是两个不共线的向量，所以，所以．4．【答案】B【解析】由余弦定理得，，所以，所以．5．【答案】D【解析】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，所以在区间单调递减，所以，解得．故选D．6．【答案】C【解析】不妨设椭圆方程为，当时，，所以，因为四边形为正方形，所以，即，所以，所以，解得，因为，所以．7．【答案】D【解析】设事件分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，事件为“此人患了流感”．由题可知，，所以，因为此人患了流感来自甲地区的概率最大，所以解得，故选D．8．【答案】C【解析】因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，即函数为奇函数，则，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以3是的一个周期；因为，故C正确；取符合题意的函数，则，所以，又，故2不是的一个周期，所以，排除B；因为不是函数的最值，所以函数的图象不关于直线对称，所以，排除A；因为，所以排除D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．【答案】ABC【解析】假设的公差为，由，所以，又，所以，所以．选项A：，故时的最小值为1，A正确；选项B：，令，所以，可知在区间单调递增，所以时取得最小值1，B正确；选项C：，故为递增数列，C正确；选项D：，因为，所以不是递减数列，D错误．10．【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系，易知，，，，，．选项A，，，所以A错误；选项B，显然，可得平面，所以B正确；选项C，记直线的单位方向向量为，则，又，所以向量在直线上的投影向量为，则有到直线的距离为，故C正确；选项D，设平面的法向量为，由，可求得，又，所以点到平面的距离，故D错误．11．【答案】ACD【解析】选项A：满足条件的数组共有个，故A正确；选项B：满足条件的数组共有个，故B错误；选项C：设中对应项同时为0的共有个，同时为1的共有个，从而对应项一项为1与另一项为0的共有个，这里，从而，而，故C正确，同理D正确．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．【答案】【解析】依题意可知，所以．13．【答案】【解析】由已知可得圆台的上底面半径，下底面半径，母线长，则该圆台的侧面积为．14．【答案】或【解析】因为直线分别与相切于两点，且直线分别与轴交于两点，所以，所以的周长为，所以，设，所以，因为为整点，所以点的坐标为或．备注：只写出一个点坐标不得分．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．【解析】（1）由已知可得，解得，即，又，可得．（2）由，可得，其中，则当时取得最小值时取得最大值2，故函数的值域为．16．【解法一】（1）因为，所以平面，又平面，所以，又，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面（2）由（1）得平面，又平面，所以，因为，所以，因为平面平面，所以，又，所以，所以，由（1）知两两垂直，如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则．所以，显然平面的一个法向量，设平面的法向量为，则即取，则，所以，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．【解法二】（1）因为，所以平面，又平面，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，所以平面．（2）由（1）知两两垂直，如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则．设，则，所以，由，得，解得，或（舍去），所以，所以，显然平面的一个法向量，设平面的法向量为，则即取，则，则，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．17．【解法一】（1）由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为，外向型女生在所有女生中占比为，故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是．则的所有可能取值为0，1，2，3．则，，所以．（2）零假设为：这两种性格特征与人的性别无关联．由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知依据的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．【解法二】（1）由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为，外向型女生在所有女生中占比为，故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是．从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为；从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型的人数记为，则，所以，所以．（2）略，同解法一．18．【解法一】（1）因为动直线与轴交于点，因为的右焦点为，所以点为的右焦点．设，因为两点位于轴的同侧，所以，因为是的等比中项，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，当时，所以，所以轴，由解得，所以，所以，由双曲线的定义得，所以，即的周长为36（2）设，由得，因为直线与交于两点，所以且，由，可得，故，又两点位于轴的异侧，所以，所以，即，所以，解得，所以，所以，所以，不妨设点在第二象限，根据双曲线定义，得，即解得，所以是等腰三角形．【解法二】（1）设由得，因为直线与交于两点，所以且，由两点位于轴的同侧，可得，解得，又是的等比中项，故可得，故，即，又，故，可得，即且，所以，当即时，所以轴，由解得，所以，所以，又，所以，所以，即的周长为36．（2）因为两点位于轴的异侧，故，所以，且由（1）知，解得或，当时，设的中点的坐标为，，所以点的坐标为，又的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线方程为，即，又点在直线上，所以，即为等腰三角形．当时，同理可证，为等腰三角形．综上所述，为等腰三角形．19．【解法一】（1）的定义域为，，记，当时，单调递增；当时，单调递减所以，即，所以在区间上单调递减．（2）先证，记，则，记，则，所以时，递增；时，递减．所以，所以，又，所以，故．再证，即证，记，则，记，则，所以在递增，所以，所以，即，所以．（3）由（2）知的最大值为0．因为且，则之中至少有一个大于1，不妨设，则，由（1）可知为减函数，所以，所以，因为，记，则，因为，所以，所以，所以．【解法二】（1）略，同解法一（2）构造函数，当时，单调递增，，所以，构造函数，当时，单调递增；当时，单调递减．所以，即，即成立．所以，所以，9分则只需证明，即，而显然成立，所以．（3）先证，记，则，记，则，所以时，递增；时，递减．所以，所以，又，所以，故．所以，因为且，所以，所以，所以，则．