定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题【题型归纳目录】题型一：定比点差法题型二：齐次化题型三：极点极线问题题型四：蝴蝶问题【典例例题】题型一：定比点差法x2y23例1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于a2b22A，B两点，若AF=3FB，求kx2y2PA例2.已知+=1，过点P(0,3)的直线交椭圆于A，B(可以重合)，求取值范围．94PBx2y2例3.已知椭圆+=1的左右焦点分别为F，F，A，B，P是椭圆上的三个动点，且PF=λFA，PF=6212112μF2B若λ=2，求μ的值．题型二：齐次化例4.已知抛物线C:y2=4x，过点(4,0)的直线与抛物线C交于P，Q两点，O为坐标原点．证明：∠POQ=90°．x2例5.椭圆E:+y2=1，经过点M(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A(0,2-1)，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．x2例6.已知椭圆C:+y2=1，设直线l不经过点P(0,1)且与C相交于A，B两点．若直线PA与直线PB的4222斜率的和为-1，证明：直线l过定点．题型三：极点极线问题x2y2例7.已知椭圆M：+=1(a>b>0)过A(-2，0)，B(0，1)两点．a2b2(1)求椭圆M的离心率；(2)设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上(P不与椭圆M的顶点重合)，直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．x2y24例8.若双曲线x2-y2=9与椭圆C:+=1(a>b>0)共顶点，且它们的离心率之积为．a2b23(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线A1P与A2Q的斜率分别1为k，k，且k-k=0．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．12152x2y22例9.如图，椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两a2b22点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPA=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.QBPBx2变式1.已知A、B分别为椭圆E：+y2=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG⋅GB=8，P为直线a2x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.x2y2313变式2.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点为F(-3,0)，且过点P,.a2b2124(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q，A2Q分别交椭圆C于不同的两点M，N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标.x2y2变式3.设椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,1)，且左焦点为F-2,0．a2b21(1)求椭圆C的方程；(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，且满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，证明：点Q总在某定直线上．题型四：蝴蝶问题2例10.在平面直角坐标系中，已知圆M:x+2+y2=36，点N2,0，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线与半径MQ相交于点P，设点P的轨迹为曲线E。(1)求曲线E的方程；(2)若A-3,0,B3,0，设过点T9,m的直线TA,TB与曲线E分别交于点Cx1,y1,Dx2,y2，其中m>0,y1>0,y2<0，求证：直线CD必过x轴上的一定点。(其坐标与m无关)x2y21例11.已知椭圆C:+=1a>b>0的左､右顶点分别为点A，B，且AB=4，椭圆C离心率为.a2b22(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN的交于点Q，求证：点Q在直线x=4上.x2y213例12.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P1,为椭圆上一a2b222点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1=2k2，求直线l斜率的值．x2y2变式4.如图，O为坐标原点，椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距等于其长半轴长，M,N为椭圆C的上、下a2b2顶点，且|MN|=23(1)求椭圆C的方程；(2)过点P0,1作直线l交椭圆C于异于M,N的A,B两点，直线AM,BN交于点T．求证：点T的纵坐标为定值3．3x2y2x3y变式5.已知点A1,-在椭圆C：+=1(a>b>0)上，O为坐标原点，直线l：-=1的斜2a2b2a22b21率与直线OA的斜率乘积为-4(1)求椭圆C的方程；3(2)不经过点A的直线l：y=x+t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R2(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：AM=AN.x2y2变式6.椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F，M在椭圆上，ΔMFF的周长为25+4，面a2b21212积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)直线y=kx(k>0)与椭圆C交于A,B，连接AF2，BF2并延长交椭圆C于D,E，连接DE，探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由.