概率与统计的综合应用【题型归纳目录】题型一：决策问题题型二：道路通行问题题型三：保险问题题型四：概率最值问题题型五：放回与不放回问题题型六：体育比赛问题题型七：几何问题题型八：彩票问题题型九：纳税问题题型十：疾病问题题型十一：建议问题题型十二：概率与数列递推问题题型十三：硬币问题题型十四：自主选科问题题型十五：高尔顿板问题题型十六：自主招生问题题型十七：顺序排位问题题型十八：博彩问题【典例例题】题型一：决策问题例1.(2022·全国·高三专题练习)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为p(00)元，若试验成功则获利8a元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．【解析】(1)由题意，X=1,2,3,...,8故P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,⋯,7,P(X=8)=(1-p)7分布列如下：X12345678Ppp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4p(1-p)5p(1-p)6(1-p)7所以X的数学期望E(X)=p(1-p)0+2p(1-p)1+3p(1-p)2+⋯+7p(1-p)6+8(1-p)7，记S=(1-p)0+2(1-p)1+3(1-p)2+⋯+7(1-p)6，(1-p)S=(1-p)1+2(1-p)2+3(1-p)3+⋯+7(1-p)7，7012671-1-p7作差可得，pS=1-p+1-p+1-p+⋯+1-p-71-p=-71-p，p1-(1-p)71-(1-p)81则E(X)=pS+8(1-p)7=+(1-p)7=<；ppp1(2)由(1)可知E(X)<=5，则试验成本的期望小于5a元，p试验成功则获利8a元，且8a>5a，则该公司应该投资该产品例2.(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为1，若该考生报考乙大学，每门科目达到优312秀的概率依次为，，n，其中0历史悠久，是葫芦岛市重要产业之一．某选矿场要对即将交付客户的一批200袋钼矿进行品位(即纯度)检验，如检验出品位不达标，则更换为达标产品，检验时；先从这批产品中抽20袋做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有钼矿做检验，设每袋钼矿品位不达标的概率都为p00，fp单调递增，p∈0.1,1时，fp<0，fp单调递减，所以fp的最大值点p0=0.1．(2)由(1)知，p=0.1．①令η表示余下的180袋钼矿中不达标的袋数，依据题意可知η~B180,0.1，故Eη=18，又ξ=20×10+110η，即ξ=200+110η，所以Eξ=E200+110η=200+110Eη=200+110×18=2180．②若对余下的钼矿进行检验，则所有检验成本为2000元．由于Eξ=2180>2000．应该对余下的钼矿都进行检验．变式2.(2022·安徽省舒城中学一模(文))某蛋糕店计划按日生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完，该蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量(单位：个)，整理得表：日需求量n282930313233频数346674(1)若该蛋糕店一天生产30个这种面包，以记录了30天的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求当天的利润不少于60元的概率；(2)该蛋糕店想提高该面包的销售利润，员工甲和乙分别提出两种方案.甲的方案：保持一天生产30个这种面包；乙的方案：加大产量一天生产31个这种面包.根据以上30天日需求量的日平均利润来决策哪一种方案收益更好.【解析】(1)由题意可知，当天需求量n<30时，当天的利润y=8n+530-n-6×30=3n-30，当天需求量n≥30时，当天的利润y=8×30-6×30=60.3n-30,n<30故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为：y=，n∈N.60,n≥30由题意可得：日需求量n282930313233日利润545760606060频数3466746+6+7+423则当天的利润不少于60元的概率P==；303054×3+57×4+60×23(2)由(1)可得甲的方案的30天的日利润的平均数为=59(元)，303n-31,n<31同理可得乙的利润y关于当天需求量n的函数解析式为y=,n∈N.62,n≥31由题意可得：日需求量n282930313233日利润535659626262频数34667453×3+56×4+59×6+62×171791可得乙的方案的30天的日利润的平均数==59.7>59.3030所以乙的方案收益更好.题型二：道路通行问题例4.某人某天的工作是，驾车从A地出发，到B，C两地办事，最后返回A地A，B，C三地之间各路段的行驶时间及当天降水概率如表：路段正常行驶所需时间上午降水概率下午降水概率(小时)AB20.30.6BC20.20.7CA30.30.9若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时．现有如下两个方案：方案甲：上午从A地出发到B地办事然后到达C地，下午在C地办事后返回A地；方案乙：上午从A地出发到C地办事，下午从C地出发到达B地，办事后返回A地(1)若此人8点从A地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A地的概率；(2)甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A地？【解析】解：(1)由题意可知，若各路段均不会遇到降水，则返回A地的时间为17点，因此若18点之前能返回A地的充要条件是降水的路段数不超过1，记事件M1，M2，M3分别表示在上午AB路段降水、上午BC路段降水、下午CA路段降水，则所求概率：P=P(M1M2M3)+P(M1M2M3)+P(M1M2M3)+P(M1M2M3)=0.7×0.8×0.1+0.3×0.8×0.1+0.7×0.2×0.1+0.7×0.8×0.9=0.598．(2)设基本路段正常行驶时间为x，降水概率为p，则该路段行驶时间X的分布列为：行驶时间Xxx+1概率P1-pp∴E(X)=x(1-p)+(x+1)p=x+p，路段正常行驶所上午上午下午下午需时间(小时)降水概率行驶时间期望值降水概率行驶时间期望值AB20.32.30.62.6BC20.22.20.72.7CA30.33.30.93.9设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为Y，Z，则EY=2.3+2.2+3.9=8.4，EZ=2.6+2.7+3.3=8.6．∴采用甲方案更有利于办事之后能更早返回A地．例5.市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假1设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都10是1，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．5