函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f1(f2⋯fn(x))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y=axx+bx+c(a≠0)”或“y=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有ax+bcx+d(1)y=或y=的结构，可用“cx+d=t”换元；cx+dax+b(2)y=ax+b±cx+d(a,b,c,d均为常数，a≠0,c≠0)，可用“cx+d=t”换元；ππ(3)y=bx±a2-x2型的函数，可用“x=acosθ(θ∈[0,π])”或“x=asinθθ∈-,”换元；22ax+bax+ba5.分离常数法：形如y=(ac≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y==+cx+dcx+dcbc-ad，然后求值域；c2x+dcb6.基本不等式法：形如y=ax+(ab>0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函x数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a+b≥2ab求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a>0,b>0；②a+b(或ab)为定值；③取等号的条件为a=b，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y=ax+b-cx+d(ac<0)的函数可用函数单调性求值域；b(2)形如y=ax+的函数，当ab>0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数x求解；高考加油b当ab<0时，y=ax+在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。xasinxacosx8.函数的有界性法：形如y=(或y=)(其中a,b,c不为0)的函数求值域或最值，c+bsinxc+bcosxc可用y表示出sinx(或cosx)，再根据-1≤sinx≤1且sinx≠-(或-1≤cosx≤1且cosx≠bc-)，列出关于y的取值范围.b类似地，有：①x2=f(y)，则f(y)≥0；②ax=h(y)，则h(y)>0；③sinx=g(y)，则-1≤g(y)≤12a2x+b2x+c229.判别式法：形如y=2(a1a2≠0)或y=Ax+Bax+bx+c(ABa≠0)的函数求值域，a1x+b1x+c1可将函数转化为关于x的方程F(x,y)=0，利用二次项系数不为0，判别式Δ≥0或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。10.导数法：对可导函数f(x)求导，令f(x)=0，求出极值点，判断函数单调性；如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。二、根据最值条件求解参数范围解题思路已知函数的最值求参数范围时，要视参数为已知数，结合函数值域(或最值)的求法，得到函数的最值(含有参数)，再与给出的函数最值作比较，求出参数范围。热点题型解读【题型1单调性法求函数值域或最值】1【例1】(2022秋·陕西西安·高三校考期中)函数f(x)=-2x在区间[1,2]上的最小值是()x77A.-B.C.1D.-122【答案】A1【解析】在区间[1,2]单调递减，-2x在区间[1,2]也单调递减，x17所以fx在区间[1,2]单调递减，因此f(x)=f(2)=-22=-，故选：Amin22【变式1-1】(2022秋·北京·高三北京市第一六一中学校考期中)已知函数fx=ex+x，则fx的值域是_____.【答案】1,+∞【解析】由已知，可得f-x=fx，即函数为偶函数.又x≥0时，y=ex为增函数，y=x为增函数，所以，fx=ex+x为0，+∞上的增函数，则fx≥f1=1所以，fx的值域是1,+∞.π4【变式1-2】(2022春·浙江舟山·高三校考开学考试)已知x∈0,，则函数y=cosx+()2cosxA.有最小值4B.有最大值4C.无最小值D.有最大值+∞【答案】Cπ【解析】x∈0,时，cosx∈(0,1)，2π4因为t=cosx在x∈0,上递减，y=t+在t∈(0,1)上单调递减，2t4函数y=cosx+是定义域上的单调增函数，cosx且y>1+4=5，其值域是(5,+∞)；所以函数无最大、最小值．故选：C【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)函数f(x)=lnx+ln(2-x)的最大值为______.【答案】0【解析】由f(x)=lnx+ln(2-x)=ln[-(x-1)2+1]，且00，且a≠1)的图象经过点A(1,4)，B(3,16).(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)=f(x)-f(-x)(x≥2)，求函数g(x)的值域15【答案】(1)f(x)=2x+1；(2),+∞.2ab=4【解析】(1)依题意，，而a>0，解得a=2,b=2，即有f(x)=2⋅2x=2x+1，ba3=16所以函数f(x)的解析式是f(x)=2x+1.1(2)由(1)知，g(x)=f(x)-f(-x)=2x+1-2-x+1=22x-，2x1因函数y=2x和y=-在[2,+∞)上都单调递增，2x15因此函数g(x)在[2,+∞)上单调递增，g(x)=g(2)=，max215所以函数g(x)的值域为,+∞.2【题型2配方法求函数值域或最值】【例2】(2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学阶段练习)函数y=-x2+4x-4的值域是_____.【答案】0【解析】函数y=-x2+4x-4的定义域为-x2+4x-4≥0，2化简得：x2-4x+4=x-2≤0，解得：x=2，所以函数y=-x2+4x-4的值域为0.x-112【变式2-1】(2023·全国·高三专题练习)若函数f=-+1，则函数gx=fx-4x的最小xx2x值为()A.-1B.-2C.-3D.-4【答案】Dx-112x2-2x+1x-12【解析】因为f=-+1==，所以fx=x2x≠1.xx2xx2x2从而gx=x2-4x=x-2-4，当x=2时，gx取得最小值，且最小值为-4.故选：D【变式2-2】(2022·全国·高三专题练习)函数f(x)=x+21-x的最大值为_______．【答案】2【解析】设t=1-xt≥0，则x=1-t2，所以原函数可化为：y=-t2+2t+1t≥0，由二次函数性质，当t=1时，函数取最大值2.【变式2-3】(2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习)已知函数fx=sinx+cosx+2sinxcosx+2，则fx的最大值为()．A.3+2B.3-2C.2+2D.2-2【答案】A2【解析】fx=sinx+cosx+2sinxcosx+2=sinx+cosx+sinx+cosx-1+2，22π令t=sinx+cosx=2sinx+cosx=2sinx+∈-2,2，224123即fx=gt=t2+t+1=t++，24由t∈-2,2，则gtmax=g2=2+2+1=3+2.故选：A.【变式2-4】(2022秋·北京·高三校考阶段练习)函数fx=sinx-cos2x是()A.奇函数，且最小值为-2B.偶函数，且最小值为-299C.非奇非偶函数，且最小值为-D.非奇非偶函数，且最大值为88【答案】C【解析】fx=sinx-cos2x=sinx-1-2sin2x=2sin2x+sinx-1，其定义域为R，f-x=2sin2-x+sin-x-1=2sin2x-sinx-1，故函数fx为非奇非偶函数，129令t=sinx，则t∈-1,1，则fx=gt=2t2+t-1=2t+-，4819易知fx=g-=-，故选：C.min48x-12x+1x2+ax+b【变式2-5】(2022·全国·高三专题练习)已知函数fx=，对任意非零实数x21x，均满足fx=f-.则f-1的值为___________；函数fx的最小值为_______x____.9【答案】0-8x-12x+1x2+ax+b1【解析】函数fx=，因对任意非零实数x，均满足fx=f-，x2x高考加油-1-1-2+11-a+b(x-1)(2x+1)(x2+ax+b)xxx2x则∀x∈R,x≠0，有=，x21x2即(x-1)(2x+1)(x2+ax+b)=(-x-1)(x-2)(bx2-ax+1)，由等式两边展开式最高次项系数得：-b=2，即b=-2，当x=1时，b-a+1=0，解得a=-1，经检验得，a=-1，b=-2，1fx=f-对任意非零实数x成立，x(x-1)(2x+1)(x2-x-2)(x2-1)(2x2-3x-2)11因此，f(x)===x-2x--3x2x2xx1211329=2x--3x-=2x---，xxx4813-3±739f-1=0，当x-=即x=时，fx=-，x48min89所以f-1的值为0，函数fx的最小值为-.8【题型3分离常数法求函数值域或最值】cosx+1【例3】(2022秋·河南郑州·高三校考阶段练习)函数y=的值域是()2cosx-1A.-∞,0∪4,+∞B.-∞,0∪2,+∞C.0,4D.0,2【答案】B1(2t-1)+311t+122131【解析】令cosx=t,t∈-1,∪,1，y===+⋅，222t-12t-1222t-111可得2t-1∈-3,0∪0,1，∈-∞,-∪1,+∞，2t-133113⋅∈-∞,-∪,+∞，故y∈-∞,0∪2,+∞.故选：B.22t-122x2-1【变式3-1】(2022秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习)函数fx=的值域x2+3x+2为________．【答案】-∞,-2∪-2,1∪1,+