函数中的同构问题一、考情分析近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.二、解题秘籍(一)同构函数揭秘同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如ex+x与x+lnx属于“跨阶函数”，而ex+lnx属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函x数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：fx=xe,fx=xxxlnx,fx=x+e,fx=x+lnx，fx=e-x+a,fx=lnx-x+a等，在一些求参数的取值范围、零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同xlnxxxx+lnxe构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；x=e,x=lne,xe=e,=xex-lnx等.11(2024届陕西省西安市部分学校高三上学期考试)已知函数fx=lnx-ax-.x(1)当a=2，求fx的极值；-ax(2)若fx≤-e恒成立，求a的取值范围.·1·22(2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测)已知函数fx=x+lnx+ax在x=1处的切线l和直线x+y=0垂直.(1)求实数a的值；22f(x1)-f(x2)-x1+x2(2)若对任意的x1,x2∈0,2，x1≠x2，都有>m成立(其中e为自然对数的底数)，ex1-ex2求实数m的取值范围.(二)xex型同构x3(2023届吉林省长春外国语学校高三上学期考试)已知函数fx=e-ax(e是自然对数的底数).(1)当a=1时，求f(x)的极值点；(2)讨论函数f(x)的单调性；x(3)若gx=ex-1-alnx+fx有两个零点，求实数a的取值范围.·2·(三)x+alnx型同构lnx4(2023届福建省宁德市博雅培文学校高三高考前最后一卷)已知函数fx=+mm∈R．x(1)讨论函数fx的零点的个数﹔axae+12(2)当m=0时，若对任意x>0，恒有≥fxx+1，求实数a的取值范围．2(四)ex+ax+b型同构5(2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测)已知函数f(x)=aex+x+1.(1)讨论f(x)的单调性；x-1(2)当x>1时，f(x)>ln+x，求实数a的取值范围.a·3·(五)lnx+ax+b型同构x+12a+x+lnx6已知fx=e-，gx=，a∈R．xx(1)当x∈1,+∞时，求函数gx的极值；(2)当a=0时，求证：fx≥gx．三、典例展示221(2024届江苏省徐州市邳州市新世纪学校高三上学期月考)已知函数fx=x+1lnx-x-ax．(1)若a=1，求fx的最小值；2ax2(2)若方程fx=axe-x有解，求实数a的取值范围．·4·x2(2024届安徽省六校教育研究会高三上学期素质测试)已知函数fx=ae-x(e是自然对数的底数).(1)讨论函数fx的单调性；x(2)若gx=aex-1-lnx+fx有两个零点，求实数a的取值范围.121123(2024届重庆市渝北中学高三上学期月考)已知函数fx=x+alnx-1，gx=fx+-x4ex4+x．(1)当a=-1时，求函数fx的极值；gx1-gx2(2)若任意x1、x2∈1,+∞且x1≠x2，都有>1成立，求实数a的取值范围．x1-x2·5·2x4已知fx=xe-ax+2lnx(1)当a=e时，求fx的单调性；(2)讨论fx的零点个数．x5已知函数fx=e-alnx,a∈R.(1)当a=0时，若曲线y=fx与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标；(2)当a=e时，证明：fx≥e；(3)若对任意x∈0,+∞，不等式fx>alna恒成立，请直接写出a的取值范围.·6·6已知函数fx=x-alnx,a∈R(1)请讨论函数fx的单调性1xλ(2)当x∈,+∞时，若e≥lnlnx+x+1+1恒成立，求实数λ的取值范围ex四、跟踪检测ae2x-11(2023届广东省深圳市光明区高三二模)已知函数fx=的图象在1,f1处的切线经过x2点2,2e.(1)求a的值及函数fx的单调区间；2ax-12λx(2)设gx=，若关于x的不等式λxgx≤e-1在区间1,+∞上恒成立，求正实数λ的取值范lnx围.·7·lnx2(2023届海南省海口市龙华区海南华侨中学高三一模)已知函数fx=+1.x-1(1)讨论函数fx的单调性；λxe-1已知，若存在，不等式λx成立，求实数的最大值.(2)λ>0x∈1,+∞λx≥≥lnxλe+1x-13(2024届山东省部分学校高三上学期联考)已知函数fx=alnx+1-ax.(1)当a≠0时，讨论fx的单调性；ax-ex+1+a(2)当x>-1时，fx>恒成立，求实数a的取值范围.x+1·8·x4已知函数fx=e，gx=sinx.(1)求gx=sinx在x=0处的切线方程；(2)求证：gx⋅gx+10，f(x)≤xe2x恒成立，求实数a的取值范围．·10·2ax-128已知函数fx=，其图象在x=e处的切线过点2e,2e．lnx(1)求a的值；(2)讨论fx的单调性；2λx(3)若λ>0，关于x的不等式λxfx≤e-1在区间[1,+∞)上恒成立，求λ的取值范围．2xalnx-ax+a-e9已知函数f(x)=e-ax-a，g(x)=(a≥0)，其中e是自然对数的底数.x(1)当a=e时，(ⅰ)求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(ⅱ)求f(x)的最小值；(2)讨论函数g(x)的零点个数；(3)若存在x∈(0,+∞)，使得f(x)≤g(x)成立，求a的取值范围·11·ex10已知函数fx=+alnx-b(x>0),gx=lnx+x．x(1)若曲线y=fx在x=1处的切线方程为y=2x+e-3，求a,b；(2)在(1)的条件下，若fm=gn，比较m与n的大小并证明．11已知函数f(x)=lnx+ax(a≠0)．(1)讨论f(x)的零点个数；xfex(2)证明：≤f-．xa·12·x12已知函数fx=e-ax．(1)讨论f(x)的单调性．433(2)若a=0，证明：对任意的x>1，都有fx≥x-3xlnx+x．·13·