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导数中的隐零点代换与估计问题(解析版)
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导数中的隐零点代换与估计问题题型一:隐零点代换证不等式【精选例题】x-a1已知函数fx=e-lnx+x.(1)当a=1时,求曲线fx在点1,f1处的切线方程;(2)当a≤0时,证明:fx>x+2.【答案】(1)x-y+1=0;(2)证明见解析.x-1x-11【详解】(1)当a=1时,fx=e-lnx+x,求导得fx=e-+1,则f1=1,而f1=2,x则切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0,曲线fx在点1,f1处的切线方程为x-y+1=0.x-ax-ax-a1xe-1(2)当a≤0时,令F(x)=f(x)-x-2=e-lnx-2,x>0,求导得F(x)=e-=,xx显然函数F(x)在(0,+∞)上单调递增,令g(x)=xex-a-1,x≥0,g(x)=(x+1)ex-a>0,即函数g(x)在1-a(0,+∞)上单调递增,而g(0)=-1<0,g(1)=e-1≥e-1>0,则存在唯一x0∈(0,1),使得g(x0)=0,x0-a1即e=,因此存在唯一x0∈(0,1),使得F(x0)=0,当0x0时,F(x0)x0x0-a1>0,因此函数F(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,当e=时,x0-a=-lnx0,则F(x)≥F(x0x0x0-a111)=e-lnx0-2=+x0-a-2>2⋅x0-a-2=-a≥0,(当且仅当=x0即x0=1时,取等x0x0x0号,故式子取不到等号)所以当a≤0时,fx>x+2.x22已知函数fx=e-ax-x.1(1)当a=时,求不等式fx-1-1<1的解集;213-x0(2)当a>时,求证fx在0,+∞上存在极值点x,且fx<.2002【答案】(1)1,2;(2)证明见解析21xxxx【详解】(1)a=时,fx=e--x,f(x)=e-x-1,令g(x)=f(x),则g(x)=e-1,于是x>022时,g(x)>0,g(x)递增,x<0时,g(x)<0,g(x)递减,故g(x)在x=0处取得最小值,即g(x)≥g(0)=0e-0-1=0,于是g(x)=f(x)≥0,故f(x)在R上递增,注意到f(0)=1,故fx-1-1<1⇔fx-1-1可知,x>ln2a2时,g(x)>0,g(x)递增,x1),h(x)=-+2axxx21-x=<0,x2故h(x)在1,+∞上单调递减,故h(x)1),p(x)=ex-2x,记q(x)=p(x)(x>1),则q(x)=ex-2>1e-2>0,则qx=px在1,+∞单增,qx>q1=e-2,故p(x)在1,+∞上递增,p(x)>p(1)=e-2>0,取x=2a,则g(2a)=p(2a)>0;·1·1-x记y=lnx-x+1,y=,于是x>1时,y<0,y递减,00,y递增,故y在x=1处x取得最大值,故y=lnx-x+1≤ln1-1+1=0,x=1取得等号,于是ln2a<2a-1<2a.于是,由g(2a)⋅g(ln2a)<0和零点存在定理可知,∃x0∈(ln2a,2a),使得g(x0)=f(x0)=0,且ln2a0,所以x0是极小值点;由f(x0)=0可得,e-2ax0-1=0,令j(x)=e-axxx3-xx23+xe-1xx3(1-x)e-x-=e-ax-,代入a=,整理j(x)=1-e-,j(x)=,222x222于是x>1时,j(x)<0,j(x)递减,x<1时,j(x)>0,j(x)递增,故j(x)在x=1处取得最大值,故j(x)e-3≤j(1)=<0,取x=x,故j(x)<0,原命题得证.200【跟踪训练】1已知函数fx=lnax,a>0.(1)当a=1时,若曲线y=fx在x=1处的切线方程为y=kx+b,证明:fx≤kx+b;x-a(2)若fx≤x-1e,求a的取值范围.x-ax-a【详解】解析:(2)记hx=x-1e-fx=x-1e-lnx-lna,x>0,依题意,hx≥0恒成立,x-a1x-a1x-a1求导得hx=xe-,x>0,令y=hx=xe-,y=x+1e+>0,xxx2111-a1则hx在0,+∞上单调递增,又h=e2-2<0,ha+1=a+1e->0,22a+11x0-a1则∃x0∈,a+1,使得hx0=0,即x0e=成立,2x0则当x∈0,x0,hx<0,hx单调递减;当x∈x0,+∞,hx>0,hx单调递增,x0-a,由x0-a1,得x0-a1,h(x)min=hx0=x0-1e-lnx0-lnax0e=e=2,a=x0+2lnx0x0x0x-1于是得0,当时,令x-1,hx0=2-lnx0-lnx0+2lnx0x∈1,+∞tx=2-lnxx0x1-xx+2有tx=<0,tx在1,+∞上单调递减,而x+2lnx在1,+∞上单调递增,即有函数x3x-1y=-lnx+2lnx在1,+∞上单调递减,于是得函数φx=-lnx-lnx+2lnx在1,+∞上x2单调递减,则当x0∈1,+∞时,hx0=φx0<φ1=0,不合题意;1当x∈,1且x+2lnx>0时,由(1)中lnx≤x-1知,-lnx≥1-x,有-lnx+2lnx≥1-02000000x-1x-1,从而00x0+2lnx0hx0=2-lnx0-lnx0+2lnx0≥2-lnx0+1-x0+2lnx0x0x0x0-1x0-11-x02x0-12x0+11=-3lnx-x+1≥-3x-1-x+1=,由x∈,1知hx≥200200200x0x0x02x-a10,因此满足fx≤x-1e,又a=x+2lnx,y=x+2lnx在,1上单调递增,则有a∈0021-2ln2,1,而a>0,所以实数a的取值范围是0,1.2ex-a2已知函数fx=-lnx+lna+1(a>0)(e是自然对数的底数).x(1)当a=1时,试判断fx在1,+∞上极值点的个数;11(2)当a>时,求证:对任意x>1,fx>.e-1a【详解】解析:(1)f(x)在1,+∞上只有一个极值点,即唯一极小值点;·2·x-a(x-1)ex-a-xe(x-1)1x-1x-axx-a(2)证明:由f(x)=-=,设h(x)=e-,则h(x)=e-1-x2xx2x-11+11在1,+∞上是增函数,当x→1时,h(x)→-∞,因为a>,所以h(a+1)=e-1->0,x-1e-1ax0-ax0所以存在x0∈(1,a+1),使得h(x0)=e-=0,当x∈(1,x0)时,h(x)<0,则f(x)<0,即f(x)在x0-1(1,x0)上单调递减,当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,则f(x)>0,即f(x)在(1,x0)上单调递增,故x=x0是函ex-aex0-a数fx=-lnx+lna+1(a>0)的极小值点,也是最小值点,则f(x)≥f(x0)=-lnx0xx0x0-ax011+lna+1,又因为e=,所以f(x0)=-lnx0+lna+1,即证:对任意x>1,-lnx0x0-1x0-1x0-11+lna+1>,a1111即证:对任意x>1,-lnx0>-lna+1,设g(x)=-lnx,则g(x)=-lnx在x0-1ax-1x-1111,+∞上单调递减,因为x0∈(1,a+1),所以g(x0)>g(a+1),故-lnx0>-lna+1,x0-1a1故对任意x>1,fx>.a3已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.-2【详解】解析:(1)切线方程为y=e-1x+2,故切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),,0,所求三e-11-22角形面积为×2×=.2e-1e-1x-1x-11x-11(2)由于f(x)=ae-lnx+lna,∴f(x)=ae-,且a>0.设g(x)=f′(x),则g′(x)=ae+>0,xx2即f′(x)在(0,+∞)上单调递增,当a=1时,f(1)=0,∴fxmin=f1=1,∴fx≥1成立.当a>1时,1-111ax0-11<1,∴ff(1)=ae-1(a-1)<0,∴存在唯一x0>0,使得f(x0)=ae-=0,且当x∈aax0x0-11(0,x0)时f(x)<0,当x∈(x0,+∞)时f(x)>0,∴ae=,∴lna+x0-1=-lnx0,因此f(x)min=f(x0)x0x0-111=ae-lnx0+lna=+lna+x0-1+lna≥2lna-1+2⋅x0=2lna+1,故fx≥1恒成立;当x0x000,知x>0∴fx有lnxlnx1-lnx两个零点⇔a=有两个相异实根.令Gx=,则Gx=,由Gx>0得:0e,∴Gx在0,e单调递增,在e,+∞单调递减,∴Gx=Ge=,又∵maxe·3·G1=0,∴当01时,Gx>0,当x→+∞时,Gx→0,∴fx有两个1零点时,实数a的取值范围为0,;exx(2)当a=1时,fx=e-x,∴原命题等价于xe≥lnx+mx+1对一切x∈0,+∞恒成立xlnx1xlnx1⇔m≤e--对一切x∈0,+∞恒成立.令Fx=e--x>0     xxxx2xxlnxxe+lnx2x∴m≤Fxmin,Fx=e+=,令hx=xe+lnx,x∈0,+∞,则x2x212x11-20hx=2xe+xe+>0,∴hx在0,+∞上单增,又h1=e>0,h=ee-10e00000x0lnx012x00,即Fx在0,x0递减,在x0,+∞递增,∴Fxmin=Fx0=e--,由①知x0e=-lnx0,x0x0ln1x0lnx0111x0x1∴x0e=-=ln=l

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