专题06勾股定理勾股定理——面积问题1．（2022·宿迁期中）如图，、、分别是以的三边为直径所画半圆的面积，其中，，则 ．【答案】【详解】解：是直角三角形，，，又，，．故本题答案为：．2．（2022·连云港期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是 ．【答案】8【详解】解：如图，连接，由题意可知：，，，即，．故本题答案为：8．3．（2022·扬州期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为4、6、20，则正方形的面积为 ．【答案】10【详解】解：如图，由题意可得：，，，正方形、、的面积依次为4、6、20，，．故本题答案为：10．4．（2022·镇江期中）如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形，已知的面积为5，则图中阴影部分面积之和为 ．【答案】10【详解】解：，，四边形是正方形，，，，，，，，即，，图中阴影部分面积之和．故本题答案为：10．勾股定理——距离问题5．（2022·南京期中）如图，在中，，，，则点到的距离是 A．10 B．11 C．12 D．13【答案】【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，在与中，由勾股定理得：，即，，，即点到的距离是12，故本题选：．6．（2022·南通期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，的顶点、、均在网格的格点上，于点，则的长为 A． B． C． D．【答案】【详解】解：如图所示：，，，，即，解得：．故本题选：．7．（2022·无锡期中）（1）如图，，已知中，，，的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点到点的最大距离为 ．A．5 B．6 C．7 D．8（2）如图，，动点和分别在射线、上运动，且，作，且．在运动过程中，的最大距离是 A． B． C． D．【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，，，点是边中点，，，连接，，有，当、、共线时，有最大值，最大值是，又为直角三角形，为斜边的中点，，，即；（2）如图，取的中点，连接、，，当、、三点共线时，取得最大值为，，是的中点，，，在中，由勾股定理得：，在运动过程中，的最大距离为．故本题选：；．勾股定理——折叠问题8．（2022·常州期中）如图，在矩形中，，．点是边上一点，沿翻折，点恰好落在边上点处，则的长是 A． B． C． D．3【答案】【详解】解：四边形为矩形，，，，，，沿翻折，，，在中，由勾股定理可得：，，设，则，在中，，即，解得：，的长为．故本题选：．9．（2022·盐城期中）如图，把四边形纸片分别沿和折叠，恰好使得点和点、点和点重合，在折叠成的新四边形中，，，，则的面积是 ．【答案】【详解】解：由折叠得到，由折叠得到，，，，，，，，，，，，，，，如图，过点作交的延长线于点，，，，在和中，，，，．故本题答案为：．勾股定理——特殊三角形的存在性问题210．（2022·苏州期中）如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接．（1）求的长；（2）当是直角三角形时，求的长．【详解】解：（1）在中，，，，，是直角三角形，且，，，在中，，；（2），，，是直角三角形需分两种情况分析：①当时，，在中，，；②当时，，即，解得：，，；综上，的长为或．11．（2022·盐城期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．（1）若点在上，且满足时，求出此时的值；（2）若点恰好在的角平分线上，求的值．【详解】解：（1）设存在点，使得，此时，，在中，，即，解得：，当时，；（2）当点在的平分线上时，如图1，过点作于点，，此时，，，在中，，即，解得：，当时，在的角平分线上；当点运动到点时，也符合题意，此时；综上，满足条件的的值为或6．12．（2022·常州期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．（1）求边的长；（2）当为直角三角形时，求的值；（3）当为等腰三角形时，求的值．【详解】解：（1）在中，，；（2）如图，由题意知：，①当为直角时，点与点重合，，即；②当为直角时，，，，在中，，在中，，即，解得：；综上，当为直角三角形时，或；（3）如图，①当时，；②当时，，；③当时，，，，在中，，即，解得：；综上，当为等腰三角形时，或或．勾股定理的证明（含以弦图为背景的计算）13．（2022·苏州期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 A．3 B．4 C．5 D．6【答案】【详解】解：，，大正方形的面积为13，，，小正方形的面积为．故本题选：．14．（2022·无锡期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用，表示直角三角形的两直角边，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是 A． B． C． D．【答案】【详解】解：由题意，故A正确；，由②得：，故D正确；由①②可得：③，，故C正确；由①③得：，，故B错误．故本题选：．15．（2022·常州期中）操作与探究（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形．（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为，，斜边为．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理．（3）应用：测量旗杆的高度校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米．请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题．（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）【详解】解：（1）如图所示即为拼接成的大正方形；（2），；（3）建立问题模型：如图，在四边形中，，，比长0.5米，米，米，求的长．解：过点作，垂足为，，，，四边形是矩形，米，米，设米，则米，米，在中，，，解得：，答：旗杆的高为8米．16．（2022·扬州期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？（3）在第（2）问中若时，，，，，设，求的值．【详解】解：（1）梯形的面积为，也可以表示为，，即；（2），，在中，，即，解得：，（千米），答：新路比原路少0.05千米；（3）设，则，在中，，在中，，，即，解得：．勾股数17．（2022·苏州期中）以下数组中，其中是勾股数的是 A．2.5，6，6.5 B．9，40，41 C．1，，1 D．2，3，4【答案】【详解】解：、2.5和6.5不是整数，不是勾股数；、，是勾股数；、不是整数，不是勾股数；、，不是勾股数．故本题选：．18．（2022·连云港期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为 A．47 B．62 C．79 D．98【答案】【详解】解：由题可得：，，，，，，当时，，，，．故本题选：．19．（2022·南通期中）阅读理解：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即，那么称为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是 A．②④ B．①②④ C．①② D．①④【答案】【详解】解：①不能表示为两个正整数的平方和，不是广义勾股数，故①结论正确；②，是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但是它们的积不是广义勾股数，故④结论错误；综上，正确的是①②．故本题选：．20．（2022·扬州期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．（1）请你写出另外两组勾股数：6， ， ；7， ， ；（2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：（Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么，，是一组勾股数（Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么，，是一组勾股数①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）求出另外两个数；②请证明两个法则的正确性．【详解】解：（1）勾股数分别为6，8，10；7，24，25，故本题答案为：8，10；24，25；（2）①根据法则Ⅰ，则或，或（不是奇数，舍去），，，另外两个数为5、13；②法则Ⅰ，证明过程如下：．；法则Ⅱ，证明过程如下：．．勾股定理的逆定理——直角三角形的判定21．（2022·泰州期中·改编）下列各组线段能构成直角三角形的一组是 A．5cm，9cm，12cm B．7cm，12cm，13cm C．20cm，60cm，20cm D．3cm，4cm，6cm【答案】【详解】解：、，不能构成直角三角形；、，不能构成直角三角形；、，能构成直角三角形；、，不能构成直角三角形．故本题选：．22．（2022·常州期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是 A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】【详解】解：设小正方形的边长为1，则，，，．因为，所以能构成一个直角三角形三边的线段是、、．故本题选：．23．（2022·无锡/盐城期中）以下四组代数式作为的三边，能使为直角三角形的有 ①，，为正整数）；②，，为正整数）；③，，，为正整数）；④，，，，为正整数）．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】【详解】解：①，，为正整数），，能构成直角三角形；②，，为正整数），，不能构成直角三角形；③，，，为正整数），，能构成直角三角形；④，，，，为正整数），，能构成直角三角形．故本题选：．24．（2022·泰州期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以2个单位秒的速度匀速运动，为的中点，连接、，设点运动的时间为．（1）当为何值时，；（2）当时，判断的形状，并说明理由．【详解】解：（1）由题意得：，为的中点，，，，，，，，在中，，在中，，令，，解得：或（舍去），当时，；（2）是直角三角形，理由如下：当时，，，在中，，在中，，，，，是直角三角形．勾股定理的逆定理——直角三角形的判定与性质25．（2022·常州期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的取值范围为 A． B． C． D．【答案】【详解】解：，，，，是直角三角形，，又，，四边形是矩形，如图，连接，，当时，取得最小值，此时，解得：，的最小值是，，的取值范围为：，故本题选：．26．（2022·无锡期中）如图所示的网格是正方形网格，则 ．（点，，，，是网格线交点）【答案】45【详解】解：如图，连接，，则，故，设正方形网格的边长为，则，，，，是直角三角形，，又，，．故本题答案为：45．27．（2022·常州期中）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则 ．【答案】【详解】解：如图：连接，，设与交于点，由题意得：，，，，是等腰直角三角形，，，