专题01一元二次方程（经典基础题7种题型+优选提升题）一元二次方程的定义1．（2022秋广东珠海九年级校考期中）下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】解：①ax2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；③x2＋＋5＝0是分式方程；④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程；⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程；⑥12x-10=0是一元一次方程．2．（2022秋广西柳州九年级统考期中）方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ）A．1 B． C．6 D．1或【答案】B【解析】根据题意可知，解得：．一元二次方程的解3．（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为 ．【解答】解：∵x＝m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，∴2023﹣m2﹣m＝2023﹣（m2+m）＝2023﹣1＝2022．故答案为：2022．4．（2023春•射阳县校级期中）已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一个解，则的值为（ ）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【解答】解：由题意得：a2﹣2020a+4＝0，∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，∴原式＝2020a﹣4﹣2019a++7＝a﹣4++7＝+3＝+3＝2023．故选：A．一元二次方程的解法5．（2023春•滨海县期中）如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（ ）A．±5 B．5 C．﹣5 D．以上答案都不对【解答】解：（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，设a2+b2＝x，则方程化为：（x+3）（x﹣3）＝16，x2﹣9＝16，x2＝25，x＝±5，当x＝5时，a2+b2＝5，当x＝﹣5时，a2+b2＝﹣5，∵不论a、b为何值，a2+b2≥0，∴此时不行，即a2+b2＝5，故选：B．6．（2023春•东台市期中）方程x2+2x＝0的根是 ．【解答】解：x（x+2）＝0，x＝0或x+2＝0，x1＝0，x2＝﹣2，故答案为x1＝0，x2＝﹣2．7．（2023春•江阴市期中）解方程：x2﹣4x+1＝0；【解答】解：x2﹣4x+1＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12，x1＝2+，x2＝2﹣；8．（2023春•无锡期中）解方程：x2﹣2x﹣4＝0；【解答】解：x2﹣2x﹣4＝0，x2﹣2x+1＝5，（x﹣1）2＝5，∴，∴，；9．（2023春•锡山区期中）解方程：x2﹣6x+5＝0；【解答】解：∵x2﹣6x+5＝0，∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，则x﹣1＝0或x﹣5＝0，解得x1＝1，x2＝5；10．（2023春•东台市期中）解方程：3x（x﹣4）＝x﹣4．【解答】解：3x（x﹣4）＝x﹣4，移项得：3x（x﹣4）﹣（x﹣4）＝0，分解因式得：（3x﹣1）（x﹣4）＝0，∴3x﹣1＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝，x2＝4．根的判别式11．（2023春•东台市校级期中）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A．k＝﹣1 B．k＞﹣1 C．k＝1 D．k＞1【解答】解：由题意Δ＝0，∴4﹣4k＝0，∴k＝1，故选：C．12．（2023春•射阳县校级期中）若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．【解答】解：当k＝0时，原方程可整理得：4x﹣1＝0，（符合题意），当k≠0时，∵关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝16+4k≥0，解得：k≥﹣4，综上可知：k的取值范围为：k≥﹣4，故答案为：k≥﹣4．13．（2023春•灌云县期中）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，解得k＜2且k≠1，所以k的取值范围是k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1．14．（2023春•海州区校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根，则k的取值范围 ．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4（8﹣2k）≥0，∴k≥2．故答案为：k≥2．15．（2023春•清江浦区校级期中）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4m＝0，解得m＝，即m的值为．故答案为：．16．（2023春•东台市期中）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，∴Δ＝22+4k≥0，且k≠0，解得：k≥﹣1且k≠0．故答案为：k≥﹣1且k≠0．根与系数的关系17．（2023春•鼓楼区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，则的值为 ．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，∴x1+x2＝5，x1•x2＝4，∴＝＝．故答案为：．18．（2023春•东台市期中）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是 ．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，∴x1x2＝﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．一元二次方程的实际应用19．（2023春•东台市期中）为了响应全民阅读的号召，某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个月进馆560人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆830人次．设该校图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为 ．【解答】解：依题意得：560（1+x）2＝830．故答案为：560（1+x）2＝830．20．（2023春•东台市期中）某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程： ．【解答】解：设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，依题意，得：50（1﹣x）（1﹣2x）＝36．故答案为：50（1﹣x）（1﹣2x）＝36．21．（2023春•东台市校级期中）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为 ．【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．即：年平均增长率为10%．故答案为：10%．配方法的应用22．（2023春•江都区期中）若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（ ）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N【解答】解：M﹣N＝（2x2﹣12x+15）﹣（x2﹣8x+11），＝x2﹣4x+4，＝（x﹣2）2．∵（x﹣2）2≥0，∴M≥N．故选：A．23．（2023春•仪征市期中）若代数式x2﹣4x+a可化为（x﹣b）2﹣1，则a+b是（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1，∴x2﹣4x+a＝x2﹣2bx+b2﹣1，∴2b＝4，a＝b2﹣1，∴b＝2，a＝22﹣1＝3，∴a+b＝3+2＝5．故选：A．24．（2023春•梁溪区校级期中）在求解代数式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵无论a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代数式2（a﹣3）2+4≥4，即当a＝3时，代数式2a2﹣12a+22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a2+6a﹣8的最值为（ ）A．最大值﹣5 B．最小值﹣8 C．最大值﹣11 D．最小值﹣5【解答】解：由题意可得：原式＝﹣3（a2﹣2a）﹣8＝﹣3（a2﹣2a+1）+3﹣8＝﹣3（a﹣1）2﹣5，∵无论a取何值，3（a﹣1）2≥0，即﹣3（a﹣1）2≤0，∴代数式﹣3（a﹣1）2﹣5≤﹣5，即当a＝1时，代数式﹣3a2+6a﹣8有最大值﹣5，故选：A．25．（2023春•高邮市期中）若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为 ．【解答】解：M﹣N＝（2x2﹣12x+15）﹣（x2﹣8x+11）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．∵（x﹣2）2≥0，∴M≥N．故答案为：M≥N．26．（2023春•江都区期中）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．例如，求代数式x2+2x+3的最小值．解：原式＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．∴当x＝﹣1时，x2+2x+3的最小值是2．（1）在横线上添加一个常数项，使代数式x2+10x+ 25 成为完全平方式；（2）请仿照上面的方法求代数式x2+6x﹣1的最小值；（3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8．求△ABC的周长．【解答】解：（1）由题意得，常数项为，故答案为：25；（2）原式＝x2+6x+9﹣9﹣1＝（x+3）2﹣10．∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣10≥﹣10．∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣1的最小值是﹣10；（3）∵a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8，∴a2﹣6b+b2﹣8c+c2﹣4a＝﹣14﹣23+8，∴a2﹣4a+4+b2﹣6b+9+c2﹣8c+16﹣16﹣4﹣9＝﹣29，∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣4）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，∴a＝2，b＝3，c＝4，∴△ABC的周长为：a+b+c＝2+3+4＝9．27．（2023春•赣榆区期中）（1）已知3m＝6，3n＝2，求32m+n﹣1的值；（2）已知a2+b2+2a﹣6b+10＝0，求（a﹣b）﹣3的值．【解答】解：（1）∵3m＝6，3n＝2，∴32m+n﹣1＝（3m）2•3n•3﹣1＝＝36×2×＝24；（2）a2+b2+2a﹣6b+10＝0变形为（a2+2a+1）+（b2﹣6b+9）＝0，∴（a+1）2+（b﹣3）2＝0，∴a+1＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣1，b＝3，∴a﹣b＝﹣1﹣3＝﹣4，∴（a﹣b）﹣3＝（﹣4）﹣3＝．28．（2023春•江阴市期中）【阅读材料】初一上学期我们已学过：由（x+3）2+（y﹣1）2＝0知，x+3＝0，y﹣1＝0，∴x＝﹣3，y＝1．这不禁让人赞叹：精美的包装（数学模型），总可以给人满意的答案．初一下学期：利用完全平方式对上述式子进行变形：由（x+3）2+（y﹣1）2＝0知，（x2+6x+9）+（y2﹣2y+1）＝0，即x2+y2+6x﹣2y+10＝0．反之，若x2+y2+6x﹣2y+10＝0，则有（x2+6x+9）+（y2﹣2y+1）＝0，即（x+3）2+（y﹣1）2＝0，∴x+3＝0，y﹣1＝0，∴x＝﹣3，y＝1．精心挑选，合理搭配，让结果精彩纷呈．【知识应用】（1）若x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求xy的值；（2）若△ABC的三边为a、b、c，且满足4a2+4b2＝4ab+18b﹣27，求最长边c的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0，∴x＝