专题04点和圆、直线和圆的位置关系点与圆的位置关系1．（2022秋•滨湖区校级期中）已知⊙O的半径为5，OA＝4，则点A在（ ）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OA＝4＜5，∴点A与⊙O的位置关系是点在圆内，故选：A．【点评】考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．2．（2022秋•如皋市期中）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（ ）A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6【分析】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．【解答】解：∵⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，∴AB＜2，∵点A所表示的实数为4，∴2＜b＜6，故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3．（2022秋•梁溪区校级期中）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P与⊙O的位置关系为（ ）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定【分析】求出方程的根，再根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断位置关系即可．【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0的根为x1＝5，x2＝﹣1＜0（舍去），于是点P到圆心O的距离d＝5，而半径r＝4，∴d＞r，所以点P在⊙O的外部，故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解一元二次方程，求出方程的根是解决问题的前提，掌握点到圆心的距离与半径的大小是判断点与圆位置关系的关键．4．（2022秋•灌云县期中）已知⊙O的半径为3，若点A在⊙O外，则OA的长度可能是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】点A到圆心的距离大于半径长时，点A在圆外，于是可选择．【解答】解：∵点A在⊙O外，⊙O的半径为3，∴OA＞3．故选：D．【点评】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的3种位置关系的判定．确定圆的条件5．（2022秋•盱眙县期中）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）A．① B．② C．③ D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．6．（2022秋•盐都区期中）下列说法正确的是（ ）A．等弧所对的圆心角相等 B．在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等 C．过三点可以画一个圆 D．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧【分析】根据确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系，垂径定理的判定进行一一判断即可．【解答】解：A、等弧所对的圆心角相等，说法正确，本选项符合题意；B、在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，本选项不符合题意；C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法不正确，本选项不符合题意；D、平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法不正确，本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查确定圆的条件，弧，圆心角，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2022秋•镇江期中）下列说法正确的是（ ）A．弧长相等的弧是等弧 B．直径是最长的弦 C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦【分析】根据等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理判断即可．【解答】解：A、能够重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、直径是最长的弦，本选项说法正确，符合题意；C、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是圆的概念和有关性质，熟记等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理是解题的关键．三角形的外接圆与外心8．（2022秋•东台市期中）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．【解答】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选：B．【点评】此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．9．（2022秋•常州期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B＝55°，则∠CAD的度数为（ ）A．25° B．30° C．35° D．45°【分析】连接CD，如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，∠D＝∠B＝55°，然后利用互余关系计算∠CAD的度数．【解答】解：连接CD，如图，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵∠D＝∠B＝55°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝90°﹣55°＝35°．故选：C．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．10．（2022秋•锡山区期中）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，将△ABC的逆时针旋转30°得到△DEF，则∠DAF的度数为（ ）A．100° B．105° C．125° D．120°【分析】连接OE，OB，根据旋转的性质和圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，将△ABC的逆时针旋转30°得到△DEF，∴△DEF是等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠DAF＝180°﹣∠E＝120°，故选：D．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，旋转的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．11．（2022秋•洪泽区期中）如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 （5，2） ．【分析】作AB和AC的垂直平分线，它们的交点为△ABC外接圆圆心，然后写出圆心坐标即可．【解答】解：△ABC外接圆圆心的坐标为（5，2）．故答案为：（5，2）．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质，正确地作出圆心的坐标是解题的关键．12．（2022秋•梁溪区校级期中）已知△ABC的三边长分别是3，4，5，则△ABC外接圆的直径是 5 ．【分析】根据勾股定理的逆定理得出∠C＝90°，即可求出答案．【解答】解：如图，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠C＝90°，∴△ABC的外接圆的直径是5，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理的逆定理，三角形的外接圆的应用，注意：直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半13．（2022秋•邗江区期中）如图，O是△ABC的外心，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，则∠BOC＝ 140° ．【分析】求出∠BAC＝70°，由圆周角定理可得出答案．【解答】解：∵∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∵O是△ABC的外心，∴以O为圆心，OB为半径的圆是△ABC的外接圆，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°．故答案为：140°．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．14．（2022秋•海陵区校级期中）已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝ cm． ．【分析】根据△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm判定三角形的形状为直角三角形，它的外接圆的半径等于斜边上的中线即可求解．【解答】解：∵△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，∴132＝122+52，∴该三角形为直角三角形，∴它的外接圆的半径＝斜边上的中线＝cm，故答案为：cm．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的外接圆，根据勾股定理逆定理得到三角形的形状是解题的关键．15．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝58°，则∠ACB＝ 32° ．【分析】连接BD，根据圆周角定理的推论得到∠ABD＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ADB，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：连接BD，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵∠BAD＝58°，∴∠ADB＝90°﹣58°＝32°，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB＝32°，故答案为：32°．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理的解题的关键．16．（2022秋•常州期中）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则弦AD长为 5 ．【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据勾股定理求出AB，根据弧、弦之间的关系得到AD＝BD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∵CD平分∠ACB，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的性质、圆心角、弧弦之间的关系是解题的关键．17．（2022秋•惠山区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，3），（3，1）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为 （4，3）或（1，2）或（5，2） ．【分析】根据勾股定理求出PA，根据题意求出点C的坐标．【解答】解：由勾股定理得：PA＝PB＝＝，∵P是△ABC的外心，∴PC＝，∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，∴点C的坐标为（4，3）或（1，2）或（5，2），故答案为：（4，3）或（1，2）或（5，2）．【点评】本题考查了三角形的外接圆、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握勾股定理求出外接圆的半径是解决问题的关键．18．（2022秋•江阴市期中）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若∠C＝65°，则∠BAD的度数是 25 °．【分析】连接BD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠D＝65°，再利用直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，即可求得答案．【解答】解：连接BD，∵∠C＝65°，∴∠C＝∠D＝65°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠BAD+∠D＝90°，∠∠BAD＝90°﹣65°＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．19．（2022秋•南京期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．求证：DB＝DE．【分析】根据角平分线定义得到∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，得到＝，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠BAE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，∴和所对的圆心角相等，∴＝，∴∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE，∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BA