专题05正多边形与圆、弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积正多边形与圆1．（2022秋•洪泽区期中）若一个圆内接正多边形的中心角是40°，则这个多边形是（ ）A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．【解答】解：设这个多边形的边数是n，由题意得，，解得，n＝9，故选：A．【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．2．（2022秋•盐都区期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（ ）A．10 B．12 C．15 D．20【分析】根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．【解答】解：∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数＝＝10，故选：A．【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．3．（2022秋•天宁区校级期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为⊙O上一点，则∠EFC的度数为（ ）A．36° B．45° C．60° D．72°【分析】先由正多边形内角和定理求出∠CDE，再根据圆内接四边形的性质即可求出∠EFC．【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠CDE＝＝108°，∵四边形CDEF是⊙O内接四边形，∴∠EFC+∠CDE＝180°，∴∠EFC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣108°＝72°，故选D．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．4．（2022秋•宿城区期中）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（ ）A． B． C． D．【分析】在边长为4的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形对应点的距离MF，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．【解答】解：连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝2，由正六边形的性质可得ON＝4，∴OD＝＝2＝OF，∴MF＝2﹣2，由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，∴FH＝MF＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．5．（2022秋•灌云县期中）周长相等的正方形与正六边形的面积分别为S1、S2，S1和S2的关系为（ ）A．S1＝S2 B．S1：S2＝3：16 C．S1：S2＝：3 D．S1：S2＝：2【分析】设正方形的边长为3a，根据正方形与正六边形的周长相等，可求出正六边形的边长；然后根据正方形的面积公式S＝边长×边长，可求出S1；再把正六边形分成六个小正三角形，结合等边三角形的性质和勾股定理，先求出一个小正三角形的面积，即可得到正六边形的面积，再比较即可解答．【解答】解：设正方形的边长为3a，则正六边形的边长为2a，∴S1＝（3a）2＝9a2．∵正六边形的边长为2a，∴把正六边形分成六个小正三角形，其高为＝a，∴S2＝6××2a×a＝6a2．∵S1：S2＝9a2：6a2＝：2，故选：D．【点评】本题考查的是正多边形的性质及特殊角的三角函数值，能用a分别表示出正方形及正六边形的面积是解答此类题目的关键．6．（2022秋•铜山区期中）如图，圆内接正六边形ABCDEF的周长为12cm，则该正六边形的内切圆半径为（ ）A．cm B．2cm C．2cm D．cm【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【解答】解：连接OA，作OM⊥AB于M，得到∠AOM＝30°，∵圆内接正六边形ABCDEF的周长为12cm，∴AB＝2cm，则AM＝1cm，因而OM＝OA•cos30°＝cm．正六边形的边心距是cm．故选：A．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．7．（2022秋•宝应县期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在劣弧AB上，则∠CFE的度数为 72 °．【分析】先由正多边形内角和定理求出∠CDE，再根据圆内接四边形的性质即可求出∠EFC．【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠CDE＝＝108°，∵四边形CDEF是⊙O外接四边形，∴∠EFC+∠CDE＝180°，∴∠EFC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣108°＝72°，故答案为：72．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．8．（2022秋•玄武区校级期中）如图，⊙O是正八边形ABCDEFG的外接圆，则下列结论：①AE＝DF；②的度数为90°；③S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】连接OD，OF，求出正八边形的中心角∠DOE＝45°，得到∠DOF＝90°，根据这条弧的度数等于它所对的圆心角的度数可得到②正确；由勾股定理求得OD＝DF，可得①正确；由于S四边形ODEF＝DF•OE，可得S正八边形ABCDEFGH＝2DF•OE，于是得到③正确．【解答】解：连接OD，OF，∵∠DOE＝∠EOF＝360°÷8＝45°，∴∠DOF＝90°，∴弧DF的度数为90°，故②正确；∵∠DOF＝90°，OD＝OF，∴2OD2＝DF2，∴OD＝DF，∵AE＝2OD，∴AE＝DF，故①正确；∵S四边形ODEF＝DF•OE，∴S正八边形ABCDEFGH＝4S四边形ODEF＝2DF•OE，∵OE＝AE，∴S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF，故③正确；故选：D．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边数的关系是解决问题的关键．9．（2022秋•仪征市期中）如图，点O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的中心，连接AD、CD'交于点P，则∠APD'＝（ ）A．72° B．81° C．76° D．80°【分析】根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理、三角形内角和定理进行计算即可．【解答】解：如图，连接AC、OA、OC、OD、OD′，⊙O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的外接圆，∵正方形AB'C'D'内接于⊙O，∴∠ACD′＝∠AOD′＝×＝45°，又∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠CAD＝∠COD＝×＝36°，∴∠APD′＝∠CAD+∠ACD′＝36°+45°＝81°，故选：B．【点评】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质，圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答的前提．弧长的计算10．（2022秋•泗洪县期中）一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（ ）A． B． C． D．【分析】根据弧长公式以及圆的周长公式列式化简即可．【解答】解：设这条弧所在圆的半径为r，则这条弧长为：，这条弧所在圆的周长为2πr，：2πr＝．故选：B．【点评】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），熟记公式是解题的关键．11．（2022秋•盱眙县期中）钟面上分针的长为1，从12点到12点20分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度是（ ）A． B． C． D．π【分析】首先要明确分针的尖端20分钟走的路程是圆周长的，根据圆的周长公式l＝2πr，把数据代入公式进行解答．【解答】解：l＝×2πr＝2π×1＝π．故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算．此题解答关键是明确分针的尖端20分钟走的路程是圆周长的，然后根据圆的周长公式解决问题．12．（2022秋•泗阳县期中）如图，在半径为6的⊙O中，A、B、C都是圆上的点，∠ABC＝30°，则的长为 2π ．【分析】根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC的度数，再根据弧长计算公式进行计算即可得出答案．【解答】解：∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝60°．∴l＝＝＝2π．∴的长为2π．故答案为：2π．【点评】本题主要考查了弧长的计算及圆周角定理，熟练掌握弧长的计算方法及圆周角定理进行计算是解决本题的关键．13．（2022秋•涟水县期中）如图，D是以AB为直径的半圆O的中点，＝2，E是直径AB上一个动点，已知AB＝4cm，则图中阴影部分周长的最小值是 （2+） cm．【分析】连接DO，延长DO至F，使得DO＝OF，连接OC、CF、EF，当点D、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE＝DF＝2OD＝2cm的值最小，再根据弧长公式求得的长度，便可得阴影部分周长的最小值．【解答】解：连接DO，延长DO至F，使得DO＝OF，连接OC、CF、EF、CD，∵D是以AB为直径的半圆O的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴点D、点E关于AB对称，∴CE＝EF，∴CE+DE＝CE+EF≥CF，当点C、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE＝CF的值最小，∵＝2，∴∠COD＝2∠BOC＝60°，∵CO＝OD＝OF＝2（cm），∴△OCD为等边三角形，∠F＝∠OCF＝30°，∠OCD＝60°，∴∠DCF＝90°，DC＝OD＝2cm，∴CF＝2（cm），∴CE+DE的最小值为2cm，∵弧CD的长为：＝（cm），∴图中阴影部分周长的最小值是（2+）cm．故答案为：（2+）．【点评】本题考查弧长公式和最值问题，正确记忆相关公式求解是解题关键．14．（2022秋•建邺区期中）如图，半圆O的直径AD＝8cm，B、C是半圆上的两点，且∠ABC＝110°，则的长度为 cm．【分析】连接OC，CD，由∠ABC＝110°，得∠D＝180°﹣110°＝70°，根据OC＝OD，所以∠OCD＝∠D＝70°，∠COD＝40°，即可求出答案．【解答】解：如图，连接OC，CD，∵∠ABC＝110°，∴∠D＝180°﹣110°＝70°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠D＝70°，∴∠COD＝40°，∴弧CD的长度为＝（cm）．故答案为：．【点评】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟记弧长公式和正确求出∠COD＝40°是关键．15．（2022秋•惠山区校级期中）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A、B、C为圆心，以AB长为半径，作、、，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若AB＝4，则此曲边三角形的面积为 8π﹣8 ．【分析】此三角形是由三段弧组成，先求弓形的面积．那么曲边三角形的面积就等于三角形的面积加上三个弓形的面积．【解答】解：扇形ABC的面积为＝，三角形ABC的面积为×4×2＝4，弓形的面积为﹣4，∴曲边三角形的面积为4+3×（﹣4）＝8π﹣8．故答案为：8π﹣8．【点评】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积＝三角形的面积+三个弓形的面积．16．（2022秋•徐州期中）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2B2…叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，、、、、…的圆心依次按A、B、C、D循环，当AB＝1时，则的长是 4043π ．【分析】曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，再计算弧长．【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，故的半径为BA2022＝BB2022＝4（2022﹣1）+2＝8086，的弧长＝×