数学参考答案及评分标准2024.31-8：BCBAABDC9.ACD10.ABD11.BCD1212.13.3，26（填对一空得3分）14.448.解析：要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为O1,O2,O3,设被覆盖的圆的圆心为O，如图所示，设圆O1与O2交于A,B，O1O2交AB于H，AB交圆O3于C，3xx方法1：设OOOOOOx，OH，OH，123122x3x3OAOHHA1(x）21x2，又OCOOOCx1OA，222433所以圆O的最大半径为OA，下求OA的最大值，设x343x23xf(x)1x2，f(x)，24243x23323所以f(x)在(0,)为增函数，在(,)为减函数，333323f(x)f()，max33即被完全覆盖的最大的圆的半径为23.3此时，即圆、圆、圆中的任一圆均经过另外两圆的圆心.O1O2O2O3O3O11O1O2O3方法2：同上，设，，AO1HO1A1cos2cos，，O1Hcos,AHsinOH,OO1OO3332coscos，OCOO3O3C1OAOHHAsinOC33{#{QQABSYKAogiIAAJAAQhCAwWYCECQkBECAKoORAAAMAAASBFABCA=}#}cos2323OAOHHAsinsin()，33632323即当时，OA的最大值为，即被完全覆盖的最大的圆的半径为.333此时，即圆、圆、圆中的任一圆均经过另外两圆的圆心.O1O2O2O3O3O11O1O2O31111t214.解析：设f(x)的零点为t，则ln(atb)t20，即atbe90（*），39311t2设P(a,b)为直线l:txye90上任意一点，31t2e9坐标原点O到直线l的距离为h，因为P(a,b)到原点的距离a2b2h，1t2911emem(m1)下求h的最小值，令t2m(m)，则g(m)，g(m)93mm21g(m)在(,1)为减函数，在(1,)为增函数，即g(m)g(1)e，3min122此时1t2t，所以l的斜率为k22，93b1222ee（此时a,b）.ak43315.（1）证明：因为PBC为正三角形，O是BC中点，所以POBC，……1分又因为平面PBC平面ABCD，所以PO平面ABCD，POBD…………3分1122BDAO(BCBA)(BCBA)BCBA440，BDAO，22AOBD……5分又PO,AO在平面POA内且相交，故BD平面PAO………6分（2）解：E,O分别为BD,BC的中点，EO//DC，又平面PDC过DC且不过EO，EO//平面PDC，……7分又平面OEF交平面PDC于QF，故EO//QF,进而QF//DC，因为F是PC中点，所以Q是PD的中点.…………8分方法1：以O为原点，OE,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，{#{QQABSYKAogiIAAJAAQhCAwWYCECQkBECAKoORAAAMAAASBFABCA=}#}26则P(0,0,6),C(0,2,0),D(2,2,0),Q(1,,)，22CD(2,0,0),PC(0,2,6)…………9分CDn0设平面PCD法向量为n(x,y,z)，由，PCn02x0取n(0,3,1)，…………11分2y6z02662OQ(1,,)sin|cosn,OQ|……12分22232所以……13分4方法2：过点O作PC的垂线，垂足为H，连接QH……9分因为DCBC且PO平面ABCD，PODC，故有DC平面BPC，平面PCB与平面PCD垂直且交线为PC，故OH平面DPC，故直线OQ与平面PCD所成角OQH……10分在直角三角形OHC中，OCH60,OC2,6所以OH……11分2因为DC平面PBC，故DCPC，又QF//DC，26所以QFPC.在直角三角形QFH中，QF1,FH，所以QH……12分226在直角三角形OQH中OHQH，所以45…………13分216.解：（1）列联表………2分锻炼性别合计不经常经常男生72330女生141630合计213960零假设为:性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；H0根据列联表的数据计算{#{QQABSYKAogiIAAJAAQhCAwWYCECQkBECAKoORAAAMAAASBFABCA=}#}60(7162314)260(730)214023.5902.706x……4分2139303021393030390.1根据小概率值的独立性检验，推断H0不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推�=断0犯.1错误的概率不超过0.1…………5分（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，随机抽取一人为“极51度缺乏锻炼”者的概率p……7分60121X~B(20,)………………8分1215故E(X)20…………9分12311155D(X)20…………10分121236（3）10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，Y服从超几何分布：C0C31C1C22177373P(Y0)3,P(Y1)3C10120C1012040C2C121321C3C03577373……14分（每个概率1分）P(Y2)3,P(Y3)3C1012040C1012024故所求分布列为Y012317217P12040402437E(Y)2.1………………15分1017.解析：（1）当n2时，4Snanan11,4Sn1an1an1两式相减得4anan(an1an1)……1分因为an0，故an1an14…………2分所以a1,a3,，a2n1,及a2,a4,,a2n,均为公差为4的等差数列………3分aa1当n1时，由a1及S12，得a3……4分1142a2n114(n1)2(2n1)1…………5分a2n34(n1)2(2n)1…………6分所以an2n1………………7分{#{QQABSYKAogiIAAJAAQhCAwWYCECQkBECAKoORAAAMAAASBFABCA=}#}2（2）由已知，Snn……9分22222即n恒成立，设n，则(n1)nn2n1…………11分bbb2nn2nn1n2n12n2n1，当12n12，即n1,2时bn1bn0bnbn1…………13分，当n12，即n3,nN时bn1bn0bnbn1…………14分99所以bbbbb，故(b)b，所以[,)…………15分12345nmax388118.解：设直线AB的方程为xmy，A(x,y),B(x,y),……1分211221xmy联立2得：y22my10……2分2y2x0y1y22m…………3分y1y211（1）不妨设A在第一象限，B在第四象限，对于y2x，y……4分2x111l的斜率为……5分2y2x2y2211y2l的方程为yy2(xx2)，即为yx…………6分y2y22y令x0得E(0,2)……7分2y211直线的方程为：1，令得……8分OAyxx2y2xxD(,y2)x1y1221又F(,0)，所以DEEF……9分2即|DE||EF|得证………10分（2）方法1：过点B的l得垂线的方程为：yy2y2(xx2)，y2即yyxy(12)……11分222{#{QQABSYKAogiIAAJAAQhCAwWYCECQkBECAKoORAAAMAAASBFABCA=}#}y2yyxy(12)则22，解得的纵坐标为2………13分2GyGy2(y22)y2y2x要证明|AD|2|AO||AG|，因为A,O,D,G三点共线，只需证明：2（*）……14分|y2y1||y1||yGy1|1(1y2)2222……15分|y2y1||y2|2y2y21(1y2)222……16分|y1||yGy1||||y2(y22)y1|2y2y2所以（*）成立，|AD|2|AO||AG|得证…………17分1方法2：由D(,y)，B(x,y)知DB与x轴平行……12分2222|AF||AO|①…………13分|AB||AD|又的斜率为，的斜率也为，所以与平行……15分DFy2BGy2DFBG|AF||AD|②……16分|AB||AG||AO||AD|由①②得，即|AD|2|AO||AG|得证………17分|AD||AG|1ab219.解：（1）在曲线y取一点M(,)……1分x2abab2过点M(,)作f(x)的切线分别交AP,BQ于M,M……2分2ab12因为S>S，…………3分曲边梯形ABQP梯形ABM2M1112lnblna(|AM||BM|)|AB|2(ba)……4分2122ababab即…………5分lnalnb2（2）方法1：由题意得：f(x)2axlnxb1不妨设，曲线在处的切线方程为：0x1x2yf(x)(x1,f(x1))l1:yf(x1)f(x1)(xx1)，即yf(x1)xf(x1)x1f(x1)……6分{#{QQABSYKAogiIAAJAAQhCAwWYCECQkBECAKoORAAAMAAASBFABCA=}#}同理曲线在处的切线方程为：yf(x)(x2,f(x2))l2:yf(x2)xf(x2)x2f(x2)……7分f(x1)f(x2)假设l与l重合，则，代入化简可得：12f(x1)x1f(x1)f(x2)x2f(x2)lnx2lnx12a(x2x1)0…………8分a(x2x1)1(a0)x2x1x2x1x2x1两式消去a可得：lnx2lnx120，得到……9分x2x1lnx2lnx12xxxx由（1）的结论知2121，与上式矛盾……10分lnx2lnx12即:对任意实数a,b及任意不相等的正数x1,x2，l1与l2均不重合.…………11分x21xx方法2：同方法1得到ln2210……9分xx211x12x2t114(t1)设t(t1)，即，……10分g(t)lnt20g(t)220x1t1t(t1)t(t1)g(t)在(1,)为增函数，g(t)g(1)0，矛盾.即:对任意实数a,b及任意不相等的正数x1,x2，l1与l2均不重合…………11分(3)即：当b1时，不等式f(x)2sin(x1)恒成立，h(x)ax2xxlnx2sin(x1)0在(0,)恒成立，h(1)0a1……12分下证：当a1时，h(x)0恒成立.因为a1，所以h(x)x2xxlnx2sin(x1)……13分设H(x)x2xxlnx2sin(x1)，H(x)2xlnx2cos(x1)①当x[1,)时，由2x2，,lnx0,2cos(x1)2知H(x)0恒成立，即H(x)在[1,)为增函数，H(x)H(1)0成立；……14分{#{QQABSYKAogi