赤峰市高三年级3·20模拟考试试题理科数学2024.03本试卷共23题，共150分，共8页，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内．2．选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，，，则（）A． B． C． D．2．棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若向量与满足．且，，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．4．命题“，，”的否定形式是（）A．，，． B．，，．C．，，． D．，，．5．已知是定义在R上的偶函数，且周期．若当时，，则（）A．4 B．16 C． D．6．在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（）A． B． C． D．7．正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华·龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有4名大学生将前往3处场地A，B，C开展志愿服务工作．若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地A时，场地B有且只有1名志愿者的概率为（）A． B． C． D．8．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（）A． B． C． D．9．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（）A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形10．已知数列满足，若，的所有可能取值构成集合M，则M中的元素的个数是（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个11．在直三棱柱中，各棱长均为2，M，N，P，Q分别是线段，，，的中点，点D在线段上，则下列结论错误的是（）A．三棱柱外接球的表面积为 B．C．面 D．三棱锥的体积为定值12．已知F是双曲线的左焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为M，且直线l与双曲线C的右支交于点N，若，则双曲线C的渐近线方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中x的系数为______14．已知圆，直线被圆C截得的弦长为______15．已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为______16．定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立．下列结论中可能成立的有______①为奇函数；②对定义域内任意，都有；③对，都有；④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列，______．在①数列的前n项和为，；②数列的前n项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”）（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．18．（12分）2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况．随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值；（2）由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率；（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望．附：若，则，，．19．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调递增区间；（3）若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围．20．（12分）已知正方体，棱长为2．（1）求证：平面．（2）若平面平面，且平面与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值．（3）在（2）的情形下，设平面与正方体的棱、、交于点E、F、G，当截面的面积最大时，求二面角的余弦值．21．（12分）已知抛物线上一点Q的纵坐标为4，点Q到焦点F的距离为5．过点F做两条互相垂直的弦、，设弦、的中点分别为M、N．（1）求抛物线P的方程．（2）过焦点F作，且垂足为G，求的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．选修4-4：坐标与参数方程（本题满分10分）：已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数，）．（1）求曲线的普通方程；（2）已知M，N分别是曲线，上的动点，求的最小值．23．选修4-5：不等式选讲（本题满分10分）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求m的取值范围．赤峰市高三年级3.20模拟考试试题理科数学答案2024.03一、选择题：题号123456789101112答案CBACBDADBBCD二、填空题：13．80 14． 15． 16．①③④解答题：17．解：（1）选①，当时，，即当时，①②①②得：，即所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列所以选②，当时，，即当时，，即当时，符合上式．所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列所以（2）因为，所以，所以18．解（1）由频率分布直方图可知，质量超过515克的产品的频率为，质量超过515克的产品数量为（件）（2）由题意可得，则，则该批产品质量指标值的概率：（3）根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，该产品的质量超过515克的概率为所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看作二项分布．故，质量超过515克的件数Y可能的取值为0，1，2，且，，，的分布列为Y012PY的均值为或者19．解（1）：当时，，则，所以，，，故当时，曲线在点处的切线方程为，即．（2）当时，，该函数的定义域为，，由，即，解得或，因此，当时，函数的单调递增区间为、（3）法Ⅰ：因为，则，令，因为函数在上有且只有一个极值点，则函数在上有一个异号零点，当时，对任意的，恒成立，无零点，故不符合题意；当时，函数在上单调递增，因为，只需，故符合题意；当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，只需，故不符合题意，舍去综上所述，实数a的取值范围是．法Ⅱ：令则有根．令设由题意可知20．证明：（1）连接，因为是正方体，所以平面，因为平面，所以又因为四边形是正方形，所以，因为，所以平面，因为平面，所以．同理：又因为，所以平面．（2）截面图形为如图所示的六边形根据题意知截面面积最大时，图形是边长为的正六边形，所以最大的截面面积为（3）因为平面平面，所以当截面的面积最大时，E、F、G分别是棱、、的中点，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的一个法向量是，，，令，则，，设平面的一个法向量是，，，令，则，，则设二面角的平面角为，由图知为锐角，所以，所以二面角的余弦值为．21．解：（1）由题可知，解得，或（舍）所以，抛物线P的方程为（2）设直线，，，联立，可得，则得，，，同理①时，②当时，根据曲线对称性可知，令时，则．所以直线恒过点又，所以点G在以为直径的圆上，且轨迹方程为，由几何图形关系可知，的最大值为322．解：（1）由，可得消去参数得，所以曲线的普通方程为，又因为所以曲线的普通方程为（3）因为曲线的参数方程为（为参数），所以设点M的坐标为，设圆心与上任意一点的距离为d则设，，则，，所以23．解：①当时，，即当时，不等式化为，解得，所以当时，不等式化为，解得当时，不等式化为，解得，所以综上，原不等式的解集为②若恒成立，即因为（当且仅当时，等号成立），所以，即或，解得或故m的取值范围为．