2024年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准数学 一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分在每小题给出的四个选项中,只有一项8540.是符合题目要求的)题号12345678答案CBADCBCDf(x)f′(x)xf(x)·xf′(x)f(x)x构造.解析:g(x)xx,g′(x)e-xe-x+e,g(x)8D =+∵=2+1=<0∴eeef(x)f()在R上单调递减,由f(x)(x)x得:f(x)xxx,x1,即g(x)g().<2-e+e<2ex+<2=+1<1eex,故选.∴>1D二、多选题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的选项中,有多项符合题3618目要求.全部选对的得分,部分选对的得部分分,有选错的得分)60题号91011答案ACDBCACD.解析:由f(x)f(x),知yf(x)的周期为.且f()f()f()f()11ACD ++2=4=41+2+3+4=[f()f()][f()f()],所以2024f(i)4f(i),故正确.由g(x)i=i=1+3+2+4=8఑1=506఑1=4048D2-1为奇函数知g(x)关于(,)对称,所以g().由f(x)f(x)得f′(x)f′(x)-10-1=0++2=4++2=,即g(x)g(x).故g(x)的周期为且g()g(),可得g(),故A正确.0++2=04-1+1=01=0由上知g(x)的周期为且g(x)关于(,)对称,所以g(x)关于(,)对称.则有4-1030g(x)g(x),即f′(x)f′(x).所以f(x)f(x)c,令x,得c.故f(x)+6-=0+6-=0-6-==3=0-f(x),所以f(x)关于x对称.又f()f(),所以f()f(),故错误.又6-=0=32+4=42=4=2Bf()f(),所以f()f(),故正确.4=82=8C三、填空题(本大题共小题,每小题分,共分)3515..7.129 13 14(22-7,+∞)14xyx2xyy2xyx2xyy2.解析:原不等式等价于m2+-4+3+,令z2+-4+3+14(22-7,+∞) >xy=xy=xyxyxy.令t,且t,则ztt21在+-++=+=--=2yx4yx32yx≥221tt2+-1(,)上单调递减,z1,m.故m的范围是(,).22+∞∴≤=22-7∴>22-722-7+∞22+7年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2024 15{#{QQABSYwAogAoAJJAAQgCAQUiCEGQkBCCCIoOwAAMoAAACRFABAA=}#}四、解答题(本大题共小题,共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)577.分证明:连接AC底面ABCD是菱形15(13)(1),∵,BDAC.分∴⊥…………………………………………………………………………………2又AA平面ABCDBD平面ABCD1⊥,⊂,BDAA.分∴⊥1………………………………………………………………………………4又ACAAABD平面AAC.∩1=,∴⊥1四棱台ABCDABCD中AACC延长线交于一点∵-1111,1,1,ACCA四点共面.∴1,1,,BDCC.分∴⊥1………………………………………………………………………………6由知建立如图所示空间直角坐标系Axyz(2)(1),-,则ADD(0,0,0),(0,2,0),1(0,1,3),若存在点P满足题意则设Pyy.,(3,,0),∈[-1,1]易知平面ADD的一个法向量n分1=(1,0,0),…7设平面ADP的法向量mxyz.1=(0,0,0)AD→A→Py.1=(0,1,3),=(3,,0)mAD→yz则·1=0,则0+30=0,{mA→P.{xyy.·=030+·0=0令y则zxymy.分0=3,0=-1,0=-,=(-,3,-1)………………………………………9mnymn·17解之得y1.分=mn===∴cos〈,〉y2,±……………………12·4+172故在棱BC上存在点P满足题意此时CP1或CP3.分,==…………………………1322.分...a.16(15)(1)∵10×(0012+0026+0032++001)=1,a..分∴=002………………………………………………………………………………2样本平均数的估计值为......分50×012+60×026+70×032+80×02+90×01=69………4μσ..(2)∵=69,=105.PXPXμσ1-09545..分∴(≥90)=(≥+2)==002275…………………………………62能参加复试的人数约为.人.分∴40000×002275=910()………………………………7由题意有x2y1.分(3)=…………………………………………………………………98答对两道题的概率Px2yC1xxyx2xyx2y.分=(1-)+2(1-)=+2-3………………………11而x2y1Px213.分= ∴=+x-…………………………………………………………12848令fxx213x则f′xx1()=+x-(0<≤1),()=2-x2,484年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2024 25{#{QQABSYwAogAoAJJAAQgCAQUiCEGQkBCCCIoOwAAMoAAACRFABAA=}#}当x1时f′xfx在1内单调递减∴∈(0,),()<0,()(0,);22x1时f′xfx在1内单调递增.∈(,1),()>0,()(,1)22当x1时fx3.∴=,()min=28故概率P的最小值为3.分………………………………………………………………158.分解:f′xmxxm.分17(15)(1)()=(+2)e,>0………………………………………………1令f′x得x令f′x得x.()>0,>-2,()<0,<-2故fx在单调递减在单调递增.分()(-∞,-2),(-2,+∞)………………………………4mfx在x处取得极小值f无极大值.分∴()=-2(-2)=-2,………………………………6efxx对x恒成立即mxxx对x(2)ln()≤2e∀∈(-1,+∞),ln≤2e-ln(+1)-∀∈(-1,+∞)恒成立.令gxxxxx则只需mgx即可.分()=2e-ln(+1)-,∈(-1,+∞),ln≤()min……………9g′xx1x.()=2e-x-1,∈(-1,+∞)+1g′x在上单调递增且g′.()(-1,+∞)(0)=0当x时g′xgx单调递减∴∈(-1,0),()<0,();当x时g′xgx单调递增.分∈(0,+∞),()>0,()…………………………………………13gxg.min∴()=(0)=2故m2m2故m的最大值为2.分ln≤2=lne,∴0<≤e,e…………………………………15x2y2.分解:把M代入得18(17)(1)(2,6)a2-b2=1:46又Fc.a2-b2=1,1(-3,0),∴=3又a2b2c2解得ab.+=,=1,=2y2双曲线方程为x2.分∴-=1……………………………………………………………32若直线l的斜率不存在时lx此时不妨设AB.,:=-2,(-2,6),(-2,-6)O→AO→B舍去.分·=4-6=-2≠0,……………………………………………………………4y2若l的斜率存在设l方程为ykx代入x2化简得k2x2k2xk2.,=(+2),-=1,(2-)-4-(4+2)=02k2k2设AxyBxy则xx4xx4+2(1,1),(1,2),1+2=k2,12=k2,2--2k2yykxkxk2xxxx-6.12=(1+2)·(2+2)=[12+2(1+2)+4]=k2-2年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2024 35{#{QQABSYwAogAoAJJAAQgCAQUiCEGQkBCCCIoOwAAMoAAACRFABAA=}#}k2k2AOB°得O→AO→B即xxyy.则4+2-6.k2.分∵∠=90,·=0,12+12=0k2+k2=0∴=1………7-2-2k22k2ABk2xx2xxk2416+8.分=1+(1+2)-412=1+·(k2)-k2=45………………82--2假设存在Qm使得Q→AQ→B为定值.(2)(,0),·y2设l方程为xty代入x2化简得t2y2ty.=-3,-=1,(2-1)-43+4=02由题意t2Δt2t2t2.2-1≠0,=48-16(2-1)=16+16>0tyy43yy4.分1+2=t2,12=t2……………………………………………………………102-12-1由题意yyt2t21.12<0,∴2-1<0,<2Q→AQ→Bxmyxmy∵·=(1-,1)·(2-,2)tymytymy=(1-3-,1)·(2-3-,2)t2yymtyym2=(+1)12-(3+)(1+2)+(3+)tt24mt43m2=(+1)·t2-(3+)·t2+(+3)2-12-1mt2(-8-43)+4m2=t2+(+3),2-1m要使Q→AQ→B为定值则-8-434解之得m.·,=,=02-1存在Q使得Q→AQ→B为定值.分∴(0,0),·-1……………………………………………13此时SQAB1FQyy3yy2yy△=1·2-1=(1+2)-41222t2t2t2316+16+1+1.分=·t22=23·t2=23·t2……………………142(2-1)2-11-2é令t2uu2t23t2u2.uê6.+1=≥1,=+1<,1-2=3-2∴∈ëê1,)22uSQAB2323.∴△=u2=3-23uu-2éy3u在ê6递减y3u在u时取得最大值.∵=u-2ëê1,),∴=u-2=112SQAB的最小值为.分∴△23………………………………………………………………17.分解:集合S是理想数集集合T不是理想数集.分19(17)(1),…………………………2不妨设集合Pxxxxx且xxx即PxPx.(2)={1,2,3,4,5}1<2<…<5,min()=1,max()=5年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2024 45{#{QQABSYwAogAoAJJAAQgCAQUiCEGQkBCCCIoOwAAMoAAACRFABAA=}#}P为理想数集iN∗i则xixi且iN∗i使得xixi.∵,∴∀∈,1≤≤4,+1-≥1,∃0∈,1≤0≤4,0+1-0=1分………………………………………………………………………………………4当x时PPxxxxxxxx1≥0,min()+max()=1+5=(2-1)+(3-2)+…+(4-3)+xxxx.(5-4)+21≥4+21≥4当且仅当xixi且x时等号成立分+1-=11=0,;……………………………………………5当x时PPxxxxxxxxxx5≤0,min()+max()=1+5=-1-5=(2-1)+(3-2)+(4-3)+xxxx.(5-4)-25≥4-25≥4当且仅当xixi且x时等号成立分+1-=15=0,;……………………………………………6当xx时PPxxxxxxxxxx1<0,5>0,min()+max()=1+5=-1+5=(2-1)+(3-2)+(4-3)+xx.(5-4)≥4当且仅当xixi时等号成立.分+1-=1,……………………………………………………7综上所述PP.分:min()+max()≥4…………………………………………………8设xxx.(3)1<2<…<2024P为理想数集.∵iN∗ixixi且iN∗i使得xixi.∴∀∈,1≤≤2023,+1-≥1,∃0∈,1≤0≤2023,0+1-0=1对于PjxjxjP同样有iN∗jxjxj.分∴={,…,2025-}⊆,∀∈,1≤≤1012,+1-≥1…………10下先证对n元理想数集P有PPn.,min()+max()≥-1不妨设集合P中的元素满足xxxn.即PxPxn.1<2<