数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效，3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知，则（）A.B.2C.1D.3.已知，则（）A.-8B.8C.-6D.64.已知为奇函数，则（）A.B.C.2D.-25.抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（）A.B.C.或D.或6.过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，（）A.B.C.4D.7.已知数列的前项和为，设甲：是等差数列，乙：，则甲是乙的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若，且，则的值为（）A.B.C.D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.某社区通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据，并绘制出如图所示的频率分布直方图，由该图可以估计（）A.平均数>中位数B.中位数>平均数C.中位数>众数D.众数>平均数10.吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料30.60.70.8设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为，则（）A.B.C.D.11.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线.如图，当平面垂直于圆锥的轴时，截口曲线是一个圆.当平面不垂直于圆锥的轴时，若得到“封闭曲线”，则是椭圆；若平面与圆锥的一条母线平行，得到抛物线（部分）；若平面平行于圆锥的轴，得到双曲线（部分）.已知以为顶点的圆锥，底面半径为1，高为，点为底面圆周上一定点，圆锥侧面上有一动点满足，则下列结论正确的是（）A.点的轨迹为椭圆B.点可能在以为球心，1为半径的球外部C.可能与垂直D.三棱锥的体积最大值为三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第25百分位数为__________.13.已知圆台上底面半径为2，下底面半径为5，圆台的体积为，则圆台的侧面积为__________.14.如图，分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）锐角中，内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若边上的中线长为，求的面积.16.（本小题满分15分）如图甲，菱形的边长为，将沿向上翻折，得到如图乙所示的三棱锥.（1）证明：；（2）若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由.17.（本小题满分15分）已知函数.（1）求曲线点处的切线方程；（2）若，求实数的取值范围.18.（本小题满分17分）某网络销售平台每月进行一次经营状况调查，调查结果为销路好或销路差.历史数据表明：如果本月销路好，那么下个月继续保持这种状态的概率为0.5；如果本月销路差，那么下个月变好的概率为0.4.用分别表示第个月销路好和销路差的概率.（1）若，求，并证明是等比数列；（2）证明：无论第一个月销路好还是销路差，经过较长时间的销售之后，销路好的概率都会趋近于常数.19.（本小题满分17分）从圆上任取一点向轴作垂线段为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当为轴上的点时，规定与重合）.（1）求的方程，并说明曲线的类型；（2）若与轴和轴的交点分别为（在左侧；在下侧），点在线段上，过点且平行于的直线交于点（异于），交轴于点，直线交于点（异于点，直线交轴于点.从下列两个问题中选择一个进行作答：①证明：；②与的面积是否相等？请说明理由.数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DBBACDCB二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACBCDACD三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）号121314答案29.5四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）因为，所以，又，所以，所以，所以或，若，则，与为锐角三角形矛盾，舍去，从而，则，又，所以.（2）由余弦定理，得，即①，设的中点为，则，两边同时平方可得：，即：，即：②，由①可得：，于是：的面积.16.（本小题满分15分）（1）证明：取中点，连接，菱形中，，所以，又因为，所以平面，又平面，所以.（2）解：中，因为，所以，由余弦定理得，解得；在中，，所以.在平面中，作，交于点，则以为坐标原点，分别以方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则.又，假设在线段上存在符合要求的点.设平面的法向量，由，则，取.平面的法向量；所以.当时，；当时，.所以当或时，平面与平面所成角的余弦值为.17.（本小题满分15分）解：（1）.因为，所以切线方程为，即.（2）由题意，.令，则.令.①当，即时，在单调递增，，所以在单调递增，，不合题意.②当，即时，在单调递减，，所以在单调递减，所以，符合题意.③当，即时，由，所以，使得且时，，所以在单调递增，，不符合题意.综上，.18.（本小题满分17分）解：（1）设事件“第个月销路好”，“第个月销路差”.由题意，知，.即：当时，；.因为，所以是首项为0.5，公比为0.1的等比数列.（2）如果第一个月销路好，则.由（1）知，.所以.所以.从而.即如果第一个月销路差，则.同理可得，.可以看到，无论第一个月销路好还是销路差，经过较长时间的销售之后，销路好的概率会趋近于常数.19.（本小题满分17分）解：（1）设，则，因为在圆上，所以，即，所以的方程为.是长轴长为4，焦点为的椭圆.（2）先证明，且共线.由（1）知，故，直线的方程为.当斜率不存在的时候，直线与仅有一个公共点，不合题意，所以斜率存在，设直线，因为当时，与重合，不合题意，所以.当斜率为零时，直线与轴重合，不合题意，又因为点在线段上，所以.综上，，且.由得，因为，所以，则，由，得，设，由得，故，所以，即.易得，，则，设交于，由得，故.解法一：，又.因为，所以与方向相同（如图甲和图乙所示），所以三点共线，从而重合，故，且共线.解法二：，所以，，故，所以三点共线，，且共线.因为，且，所以，（或利用）所以不重合，不共线.若选①，则由，且共线，得，即.若选②，则由，且共线，得与面积相等，所以，与面积相等.