江西省八所重点中学2024届高三联考数学试卷 2024.4命题：吉安一中 罗爱军 李云 新余一中艾青梅（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效，3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．2．已知集合，集合，则（）A．， B．，C．， D．，3．已知是正项等比数列的前n项和，，，则（）A．212 B．168 C．121 D．1634．复数Z在复平面内对应的点为，O为坐标原点，将向量绕点O逆时针旋转90°后得到向量，点对应复数为，则（）A． B． C． D．5．函数有且只有一个零点，则m的取值可以是（）A．2 B．1 C．3 D．e6．已知正四棱锥，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（）A．240 B．420 C．336 D．1207．已知，，，则（）A． B． C． D．8．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（）A． B．C． D．和的大小关系无法确定二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．9．已知随机变量X、Y，且，X的分布列如下：X12345Pmn若，则（）A． B． C． D．10．已知函数，满足：，恒成立，且在上有且仅有2个零点，则（）A．周期为 B．函数在区间上单调递增C．函数的一条对称轴为 D．函数的对称中心为11．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，过点E的平面与平面平行，点G为线段上的一点，则下列说法正确的是（）A．B．若点Q为平面内任意一点，则的最小值为C．底面半径为且高为的圆柱可以在该正方体内任意转动D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．12．展开式中项系数为________．13．在三角形ABC中，，角A的平分线AD交BC于点D，若，则三角形ABC面积的最大值为________．14．已知函数，存在实数使得成立，若正整数n的最大值为8，则正实数a的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）数列满足，，，．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）求正整数m，使得．16．（15分）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．（1）求侧棱的长；（2）侧棱上是否存在点E，使得直线AE与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．17．（15分）在平面直角坐标系中，，直线：，动点M在直线上，过点M作直线的垂线，与线段FM的中垂线交于点P．（1）求点P的轨迹的方程t（2）经过曲线上一点P作一条倾斜角为45°的直线，与曲线：交于两个不同的点Q、R，求的取值范围．18．（17分）一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍；若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分．已知某同学连续摸奖n次，总得分为X，每次中奖的概率为，且每次摸奖相互独立．（1）当时，求的概率；（2）当时，求X的概率分布列和数学期望；（3）当时，判断X的数学期望与10的大小，并说明理由．19．（17分）已知函数，恒成立．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（3）数列满足：，，若数列中有无穷个不同的项，求整数p的值．