大题精练05带电粒子（带电体）在复合场中的运动问题公式、知识点回顾（时间：5分钟）一、考向分析1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现。2.复杂的物理问题一定是需要在定性的分析和思考后进行定量运算的，而最终能否解决问题，数理思维能力起着关键作用。物理教学中有意识地培养学生的数理思维，对学生科学思维的形成具有重要作用。带电粒子在磁场中的运动正是对学生数理思维的培养与考査的主要问题。解决本专题的核心要点需要学生熟练学握下列方法与技巧3.粒子运动的综合型试题大致有两类，一是粒子依次进入不同的有界场区,二是粒子进入复合场与组合场区其运动形式有匀变速直线运动、类抛体运动与匀速圆周运动。涉及受力与运动分析、临界状态分析、运动的合成与分解以及相关的数学知识等。问题的特征是有些隐含条件需要通过一些几何知识获得,对数学能力的要求较高。二、动力学牛顿第二运动定律F合=ma或或者Fx=maxFy=may向心力牛顿第三定律三、运动学匀速圆周运动线速度:V=St=2πRT=R角速度：=φt=2πT=2πf=vRS=Rθ向心力:F=ma=mv2R=mω2R=mvω=mR(2πT)2轨迹：四、电磁学磁场洛伦兹力1.F=BILsinθf=qVBsinθ2.M=NBIScosθ匀强磁场M=NBIS=Kθ辐向磁场3.R=mvqBT=2πmqB(只有洛仑兹力提供向心力才成立)4.回旋加速器Rm=mVmqB12mVm2=nUqT=2πmqBt磁=nπmqBt电=VmUqdm五、解题思路【例题】（2024•重庆一模）如图所示，圆形匀强磁场区域半径为R，磁场中心与O、O'在同一水平线上，右侧有间隔分布的匀强电场区域和无场区域，宽度都是L，场强大小为E=mv02qL，MN是无限大竖直接收屏。现有带正电粒子组成的粒子束，沿与水平成60°方向正对场中心射入，粒子质量为m，电荷量为q，速率为v0，恰好从O点沿水平方向进入电场区域，不计重力和粒子间相互作用，求：（1）磁感应强度大小B；（2）若接收屏MN距O点距离为2L，粒子击中接收屏时的速度v；（3）若接收屏MN距O点距离为nL（n＝1，2，3………），粒子击中接收屏用时离OO'线的距离y。【解答】解：（1）带正电粒子组成的粒子束，沿与水平成60°方向正对场中心射入，恰好从O点沿水平方向进入电场区域，运动轨迹如图所示：根据图中几何关系可得粒子运动的轨迹半径为：r＝Rtan60°=3R根据洛伦兹力提供向心力可得：qv0B＝mv02r联立解得：B=3mv03qR；（2）若接收屏MN距O点距离为2L，粒子通过电场的时间T=Lv0粒子击中接收屏时的水平速度vx＝v0粒子击中接收屏时的竖直速度vy＝aT=qEm⋅T=v0，粒子击中接收屏时的速度大小v=vx2+vy2=2v0与水平方向夹角θ满足tanθ=vyvx=1，得θ＝45°；（3）作vy﹣t图象如图所示：可看出水平方向每经过L时，竖直方向位移大小成等差数列。通过第1个水平距离L时的竖直距离为y1=12aT2=12×qEm×T2粒子击中接收屏时离OO′线的距离y=n(n+1)2y1解得粒子击中接收屏用时离OO'线的距离y=n(n+1)L4。难度：★★★★★建议时间：45分钟1．【带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动】（2023•广州二模）如图，“凹”形区域abcdpnHIJK，各边长已在图中标示，L为已知量.在该区域内有正交的匀强电场和匀强磁场，与ab平行的虚线为电场的等势线；磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。容器A中质量为m、带电量为e的电子经小孔S₁不断飘入加速电场，其初速度几乎为0，电子经加速电场加速后由小孔S₂离开，接着从O点进入场区，沿Oc做直线运动经c点离开场区。若仅撤去磁场，电子从b点离开场区。（1）求加速电场的电压和“凹”形区域的电场强度；（2）若仅撤去“凹”形区域中电场，求电子离开“凹”形区域时的位置与O点的距离；（3）若撤去“凹”形区域中电场，改变加速电场的电压，使得电子在“凹”形区域内的运动时间均相等，求加速电场电压的取值范围。【解答】解：（1）设加速电场的电压为U0，电子经加速电场加速后获得速度为v0，“凹”形区域的电场强度为E，则：电子经电场加速时，由动能定理有；eU0=12mv02①电子沿Oc直线运动时，有：eBv0＝eE②仅撤去磁场，电子从b点离开场区，设电子在场区的运动时间为t，则有：L＝v0t③L=12⋅eEmt2④联立①②③④可得：U0=eB2L28m⑤；E=eB2L2m，且方向沿bc⑥（2）若仅撤去电场，则电子在磁场中做匀速圆周运动，设电子的轨道半径为r0，则有eBv0＝mv02r⑦联立②③④⑦可得：r0=12L⑧所以电子从K点离开场区，距离O点的距离为L。⑨（3）依题意，要使电子在“凹”形区域内的运动时间均相等，则电子必须在场区内运动半周从aKHn边离开，如图所示。分析可知，电子从OK段离开场区是满足要求的；要从Hn段离开场区必须具备两个几何约束条件，第一、电子不能从bcdp边离开场区；第二、电子不能进入HIJK区域。设加速电场的电压为U1时，电子获得的速度为v1，其运行的轨道半径为r1，电子从OK段离开场区，依题意，有：0＜r1＜L2⑩设加速电场的电压为U2时，电子获得的速度为v2，其运行的轨道半径为r2，电子从Hn段离开场区，依题意，必须满足：第一、电子不能从bcdp边离开场区，电子运动轨迹如图Ⅰ，圆心为K，设轨道半径为r2′。第二、电子不能进入HIJK区域。电子运动轨迹如图Ⅱ，圆心为O′，设轨道半径为r2″。依题意有：r2″≤r2≤r2′⑪依题意，由几何关系有：（32L﹣r2″）2+（L2）2＝r2″2⑫联立①⑦⑩⑪⑫并分别用U1、U2替代U0；v1、v2替代v0；r1、r2替代r0求得：0＜U1≤eB2L28m⑬；25eB2L272m≤U2≤eB2L22m⑭2．【借助分立场区考查磁偏转+电偏转问题】（2023•临沂一模）如图所示，在平面坐标系xOy中，在x轴上方空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁场方向垂直纸面向外，在第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，一质量为m电荷量为q的带正电离子从x轴上的M（﹣3d，0）点射入电场，速度方向与x轴正方向夹角为45°，之后该离子从N（﹣d，0）点射入磁场Ⅰ，速度方向与x轴正方向夹角也为45°，速度大小为v，离子在磁场Ⅰ中的轨迹与y轴交于P点，最后从Q（3d，0）点射出第一象限，不计离子重力。（1）求第三象限内电场强度的大小E；（2）求出P点的坐标；（3）边长为d的立方体中有垂直于AA'C'C面的匀强磁场Ⅱ，立方体的ABCD面刚好落在坐标系xOy平面内的第四象限，A点与Q点重合，AD边沿x轴正方向，离子从Q点射出后在该立方体内发生偏转，且恰好通过C'点，设匀强磁场强磁场Ⅱ的磁感应强度为B2；求B1与B2的比值。【解答】解：（1）粒子在M点的速度大小为v′，则v′cos45°＝vcos45°则v′＝v粒子在电场中从M点到N点运动的时间为t，加速度为a，则2d＝vtcos45°a=qEml=2vsin45°a解得场强大小E=mv22qd（2）由几何关系可知R＝22d设P点的坐标为yP，则R2＝d2+（yP+2d）2解得yP＝（7-2）d则P点的坐标为[0，（7-2）d]（3）粒子在匀强磁场I中qvB1＝mv2R离子在匀强磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的半径R2，则qvB2＝mv2R2由几何关系R22=（2d）2+（R2﹣d）2解得R2=32d联立解得B1B2=R2R带入数据B1B2=3283．【利用粒子加速器考电加速磁偏转问题】（2023•龙华区校级二模）如图所示，离子源产生的甲、乙两种离子，先由静止经电压为U的加速电场加速后在纸面内运动，再从O点沿与磁场边界成45°角方向射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场。已知甲种离子从磁场边界的N点射出，乙种离子从磁场边界的M点射出，OM长为L，MN长为3L，不计离子重力和离子间的相互作用。（1）求甲种离子的比荷；（2）求乙种离子在磁场中的运动时间；（3）若匀强磁场区域同时存在与磁场同方向的匀强电场，电场强度大小E=32U9π2L，求甲、乙两种离子从叠加场射出的位置间的距离。【解答】解：（1）设甲种离子的质量为m1，电荷量为q1，甲种离子在电场中的加速过程有q1U=12m1v12设甲种离子在磁场中的运动半径为R1，根据洛伦兹力提供向心力有q1v1B=mv12R1根据几何关系有R12+R12=(4L)2联立解得：q1m1=U4L2B2（2）根据乙种离子在电场中做加速运动、在磁场中做圆周运动，设乙种离子的质量为m2，电荷量为q2，可得乙种离子的比荷q2m2=4UB2L2乙种离子在磁场中运动的偏转角α=32π乙种离子在磁场中运动的周期T=2πm2q2B所以乙种离子在磁场中的运动时间t=T2πα=3πBL28U（3）离子进入叠加场后，离子的运动可分解为垂直磁场平面的匀速圆周运动和沿电场方向的匀加速直线运动，甲种离子在磁场中运动的加速度大小a1=Eq1m1甲种离子在磁场中运动的时间t1=3T14=6πBL2U甲种离子沿电场方向运动的位移大小x1=12a1t12代入数据解得：x1＝16L乙种离子在磁场中运动的加速度大小a2=Eq2m2乙种离子在磁场中运动的时间t2=3T24=3πBL28U乙种离子沿电场方向运动的位移大小x2=12a2t22代入数据解得：x2＝L所以甲、乙两种离子从叠加场射出的位置间的距离d=(3L)2+(x2-x1)2代入数据解得：d=326L4．【带电粒子(带电体)在叠加场作用下的运动】（2023•西安模拟）某实验装置是由边长为L的正方形基底构建的长方体真空腔室，与基底平行的隔网M将腔室分成Ⅰ、Ⅱ两室，腔室Ⅰ长43L。基底中心O与M中心O1、N中心O2在同一水平线上。腔室Ⅰ内只有竖直向上的匀强电场，腔室Ⅱ内有水平向右平行于O1O2的匀强磁场和匀强电场（M在腔室Ⅱ的电磁场中），两室内的电场强度大小相等。一质量为m、电荷量为+q的带正电粒子从O点正下方12L处的A点，以平行于OO1的初速度v0射入Ⅰ室，经过O1点进入Ⅱ室，调节腔室Ⅱ的长度，可使粒子最终到达O2点。已知粒子在运动过程中恰好未与腔室侧面触碰，不计粒子重力。求：（1）电场强度E的大小；（2）腔室Ⅱ中磁感应强度B的大小；（3）腔室Ⅱ沿轴线O1O2方向的长度d。【解答】解：（1）粒子在腔室Ⅰ中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，则有：水平方向：43L=v0t1竖直方向：12L=12at12由牛顿第二定律有：Eq＝ma代入数据解得：E=9mv0216qL（2）粒子在腔室Ⅰ中由动能定理有：Eq×12L=12mv2-12mv02代入数据解得：v=54v0将粒子在腔室Ⅱ中运动分解为平行基底平面上的匀速圆周运动和平行于O1O2轴线方向的匀加速直线运动，设粒子做匀速圆周运动的半径为r，由“粒子在运动过程中恰好未与腔室侧面触碰”可知：2r=L2粒子在O1点竖直方向的速度大小vy=v2-v02=34v0根据洛伦兹力提供向心力有：qvyB=mvy2r代入数据解得：B=3mv0qL（3）粒子在腔室Ⅱ中做匀速圆周运动的周期T=2πrvy=2πL3v0根据粒子在O1O2轴线方向的匀加速直线运动，则有：d=v0nT+12a(nT)2代入数据解得：d=(23+nπ8)nπL，(n=1，2，3...)