小题精练13有界磁场磁聚焦平移圆放缩圆旋转圆问题公式、知识点回顾（时间：5分钟）一、直线边界直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图甲、乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性；双边平行直线边界如图丁、戊所示，粒子进出磁场存在临界条件。解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边界的夹角相等。二、矩形边界矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧。垂直于某边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况：(设粒子从ad边中点e垂直射入)(1)两个临界半径①从d点射出：r1＝eq\f(ad,4)。②从c点射出：req\o\al(2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r2－\f(ad,2)))2＋ab2。(2)三种情况①r≤r1，粒子从ed段射出。②r1r2，粒子从cf段射出(不会到达f点)。三、圆形边界圆形边界磁场是指分布在圆形区域内的有界磁场，带电粒子在圆形边界的匀强磁场中的轨迹也是一段不完整的圆弧。由于此类问题涉及两个圆：粒子运动轨迹的圆与磁场区域的圆，能很好地考查学生的综合分析能力，所以是近年来高考的热点。带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论：(1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。(2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆半径的夹角，如图2所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。(3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图3所示。(4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图4所示。四、四分之一平面边界四分之一平面边界磁场是指分布在平面直角坐标系中某一象限范围的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧，粒子轨迹与坐标轴相切或垂直是常见的临界情况。解决该类问题的关键是明确粒子射入(射出)磁场的位置坐标，及速度方向与坐标轴的夹角关系，然后分析粒子做圆周运动的轨迹、圆心，寻找几何关系求解问题。五、三角形边界三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情景。解答该类问题主要把握以下两点：(1)射入磁场的方式①从某顶点射入。②从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。(2)射出点的判断其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。六、平移圆问题1．适用条件(1)速度大小一定，方向一定，入射点不同但在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示(图中只画出粒子带负电的情景)。(2)轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。2．界定方法将半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”。七、放缩圆问题1．适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。(2)轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。2．界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩做轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆法”。八、旋转圆问题1．适用条件(1)速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示。(2)轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点为圆心、半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆上。2．界定方法将半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆以带电粒子入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆法”。【例题】（2023•阆中市校级模拟）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点0.4R处的P点沿着与PO连线成θ＝30°的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ）A．7eBR10m B．29eBR10m C．21eBR40m D．(5-23)eBR5m【解答】解：电子的速率最大时，运动轨迹如图，此时电子的运动轨迹与磁场边界相切，根据evB=mv2r得：v=erBm电子运动半径最大，速度最大。电子圆周运动的圆心与圆形磁场的圆心以及切点共线，过电子圆周运动的圆心做OP的垂线，由几何关系得rcos60°+(R-r)2-(rsin60°)2=0.4R解得：r=2140R则最大速率为：v=21eBR40m，故ABD错误，C正确。故选：C。难度：★★★☆建议时间：30分钟正确率：/13（2023秋•城关区校级期末）如图所示，虚线框MNPQ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则（ ）A．粒子a带负电，粒子b、c带正电 B．粒子c在磁场中运动的时间最长 C．粒子c在磁场中的加速度最大 D．粒子c在磁场中的速度最大【解答】解：A、根据左手定则可知，粒子a带正电，粒子b、c带负电，故A错误；B、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有qvB=mv2R且T=2πRv解得T=2πmqB三个带电粒子的质量和电荷量都相等，故三个粒子在同一磁场中运动的周期相等，粒子c的轨迹对应的圆心角最大，所以粒子c在磁场中运动的时间最长，故B正确；CD、根据公式qvB＝ma，可得a=qvBm，c在磁场中运动的半径最小，所以速度最小，加速度最小，故CD错误。故选：B。（2022秋•如皋市期中）如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种离子，不考虑离子间的相互作用，则离子经过磁场的区域（阴影部分）可能的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：离子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹均为半个圆周，当离子的轨迹的直径小于线状粒子源的宽度时，离子经过磁场的区域如图1中的阴影部分；当离子的轨迹的直径大于线状粒子源的宽度时，离子经过磁场的区域如图2中的阴影部分；四个选项中的离子的轨迹的直径均大于线状粒子源的宽度，故离子经过磁场的区域如图2的阴影区域，故C正确，ABD错误。故选：C。（2023•绵阳模拟）如图，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，O为圆心。质量为m、电荷量为q的带负电的粒子沿平行于直径MN的方向射入该区域，入射点P与MN的距离为12R，已知粒子射出磁场与射入磁场时速度方向间的夹角为60°，忽略粒子重力，则粒子的速率为（ ）A．3qBR2m B．2qBRm C．2qBRm D．qBRm【解答】解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图设粒子做圆周运动的圆心为O′，粒子离开磁场时速度的反向延长线与进入磁场时速度方向的交点为A，O′P与OM的交点为B，运动半径为r，由几何关系得，∠OPB＝60°；又速度偏转角为此段圆弧轨道的圆心角，则∠AO′B＝30°∠POO′＝90°，则粒子做圆周运动的半径r＝2R粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力等于向心力，有：qvB＝mv2r解得：v=2qBRm故B正确，ACD错误。故选：B。（2023•甘肃二模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，bc为半径为r的半圆，ab、cd与直径bc共线，ab间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。从abcd边界射出磁场所用时间最短的粒子的速度大小为（ ）A．Bqrm B．2Bqrm C．2Bqr3m D．4Bqr3m【解答】解：当轨迹圆弧所对应的弦与bc半圆形边界相切时，轨迹圆弧所对应的弦与ab的夹角最大，那么轨迹的圆心角θ最小，运动时间最短，其轨迹如图所示，圆心恰好位于b点，由r=mvqB，解得v=Bqrm，故A正确，BCD错误；故选：A。（2023秋•城关区校级期末）中国环流器二号M装置（HL﹣2M）在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图所示，半径为R和3R的两个同心圆之间的环形区域存在与环面垂直的匀强磁场，核聚变原料氕核（11H）和氘核（12H）均以相同的速率从圆心O沿半径方向射出，全部被约束在大圆形区域内。则氕核在磁场中运动的半径最大为（ ）A．36R B．33R C．233R D．(3-1)R【解答】解：依题意，氕核、氘核全部被约束在大圆形区域内，在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有qvB=mv2r解得：r=mvqB由于二者速度相同，根据半径与比荷的关系，可知氕核、氘核在磁场中的轨迹半径之比为1：2。当氘核在磁场中运动轨迹刚好与磁场外边界相切时，氘核运动轨迹半径最大，如图所示，由几何知识得(3R-rmax)2=rmax2+R2解得氘核的最大半径为：rmax=33R则氕核在磁场中运动的最大半径为：r'max=12rmax=36R，故A正确，BCD错误。故选：A。（2023秋•兴庆区校级期中）如图所示，一束电子以大小不同的速率沿垂直于磁场边界线方向飞入正方形区域的匀强磁场（磁场的方向垂直于正方形区域），下列判断正确的是（ ）A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长 B．电子在磁场中圆周运动半径越大，则运动时间越短 C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合 D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同【解答】解：A、电子在磁场中做圆周运动的周期：T=2πrv=2πmeB相同，电子在磁场中的运动时间：t=θ2πT，电子在磁场中运动时间越长，电子运动轨迹对应的圆心角θ越大，电子的运动轨迹不一定越长，故A错误；B、电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：evB＝mv2r，解得：r=mveB，电子速率v越大，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径越大，但运动时间不一定越短，如从磁场右边界射出磁场的电子轨道半径不同但运动时间相等，半径大的电子运动时间不一定短，故B错误；C、从磁场左边界离开磁场的电子在磁场中的运动时间相等，电子速度不同运动轨迹不同，由此可知，运动时间相同的电子运动轨迹不一定重合，故C正确；D、电子在磁场中做圆周运动的周期：T=2πrv=2πmeB相同，电子在磁场中的运动时间：t=θ2πT，电子运动轨迹对应的圆心角θ相同，电子在磁场中的运动时间相等，它们的速率不一定相同，如从磁场右边界离开磁场的电子运动时间相同而速率不同，故D错误。故选：C。（2