2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数学（参考答案）一、单项选择题：1．D2．B3.A4．C5.A6．C7.B8.C二、多项选择题:9.ABD10.BD11.ACD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.81321nn+−139−112.13.514.40；A=（或）1621n+22部分参考答案：21663−6．PA()==，事件AB=“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”2646CCC345++41P(AB)41则PAB()==666，则PBA()==2646PA()63【答案】C7.直线PA1，PB1，PC1，PD1与平面ABCD1111所成角大小分别为1，2，3，4等价于直线，，，与直线AA，BB，CC，DD成角大小分别为−，−，11112122−,−，由=，可知P在线段BD上，又，则−−，与232413242224成角更小，则点P在线段OB上【答案】B8.由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y=f()x，实线部分为y=f()x，则A，B显然错误，对于f(x)exx−−f(x)ef(x)f(x)fx()，而言，，由图像可知，单调递增，，CDy==2xx(−,0)y=xx(0,+)(ex)eefx()单调递减，所以函数y=在x=0处取得最大值为1ex【答案】C13139.由实系数一元二次方程求根公式知z=−+i,z=−−i，z,z是1的两个立方虚根，1222221221313则z2=−+i=−−i=z(与顺序无关），A正确；1222223333因为z1=z2=1，所以z1−z2=0，B正确；222z1−z2=z2−z10，C错误；z1z2=z1z1=z1=1，D正确.【答案】ABD10．已知所有棱长都相等，不妨设为1.A：过S作直线l∥AD，则l为平面SAD与平面SBC的交线，取AD中点E，BC中点F，连接ES，FS，则∠ESF为二面角A-l-B的平面角，连接EF，在△EFS中，2233(√)+(√)−1221cos∠ESF=2=≠0332(√)2所以平面SAD与平面SBC不垂直，故A错；B：取SB中点G，SC中点H，连接OGH，可知平面OGH∥平面SAD，所以当P∈GH时，OP∥平面SAD，这样的点P有无穷多，故B正确；C：由已知可知当Q在正方形ABCD各边中点时，SQ与底面ABCD所成的角最大，131휋휋cos∠SEO=2=√>，所以∠SEO<，所以不存在Q使得SQ与底面ABCD成的角为，故出错误；√3323321{#{QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=}#}D：作OI垂直于MN，连接SI，则∠SIO为二面角S-MN-O的平面角，ππ当MN都无限向点B靠拢时，∠SIO→；当M→A，N→C时，∠SHO→，42휋휋所以二面角S-MN-O范围是(，)，故D正确.42【答案】BD1111.A：|푎|=，|푎|=，푛(푛−푐)2+1푛+1(푛+1−푐)2+1(푛+1−푐)2+1−[(푛−푐)2+1]=2푛+1−2푐因为c≤1,n∈N∗，所以2푛+1−2푐>0所以(푛+1−푐)2+1>(푛−푐)2+1所以|푎푛+1|<|푎푛|，即数列{||}an单调递减，故A正确；1B：푎=−<01(1−푐)2+1当n为偶数时，aan≥1必成立，c任意；11当n为奇数且n≥3时，为−≥−(푛−푐)2+1(1−푐)2+1等价于(푛−푐)2+1≥(1−푐)2+1n+1푛+1等价于c≤，而()=2，所以c≤2.综上c≤2，故B错误；22푚푖푛C：显然当i,j同奇或同偶时，必有aaij+0当i为奇数，j为偶数时，11(푖+푗−2푐)(푖−푗)푎+푎=−+=푖푗(푖−푐)2+1(푗−푐)2+1[(푖−푐)2+1][(푗−푐)2+1]因为i+j为奇数，2c为偶数，cN*，所以푖+푗−2푐≠0，所以，故C正确；D：先考虑最大项，最小项和为0，再调整：若和为0，则c必为相邻两整数正中间，如：上图是c=3.5情形，푎3+푎4=0；当c→3.4时，会有|푎3|>|푎4|,푎3+푎4<0,如下图——当c→3.6时，会有|푎3|<|푎4|,푎3+푎4>0,如下图——11*即c靠近偶数时，{}an的最大项与最小项之和为正数，临界值为2k−c2k+,kN，故D正确.22【答案】ACD2{#{QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=}#}12.1−3log2,−31681log1118181316=+=++===ffffloglog2log22log33333161616161613.设点P(x,y)，由PB=2PA得x2+y2=4，若该圆上有且只有3个点直线lx:3ym40++=m的距离为1，则圆心到直线的距离d==1，解得m=5.513314.根据乘法原理和加法原理得到A4=C24+C24=40.奇数维向量，范数为奇数，则xi=1的个数为奇数，即1的个数为1,3,5,,21n+，12322524210nnnn−−+根据乘法原理和加法原理得到ACCCC2121212121nnnnn+++++=++++2222，21n+21n+02112222n+nn−210n+3=(2+1)=CCCC2n+12+2n+12+2n+12++2n+1221n+02112222210nnnn+−+1212222=−=−+−−()CCCC21212121nnnn++++3139121nn+−−两式相减得到A=（或）21n+22四、解答题:15．（1）因为aBsinbA3cos=−，由正弦定理可得sinsin3ABBAsincos=−……3分2sin0B，所以sin3AAcos=−，故tan3A=−，=A………………6分3（2）由题意可知SSABDACDABCS+=，111即csin60+=bsin60bcsin120，化简可得b+=cbc，……………9分2222b2+−c2a2(b+c)−2bc−a21在ABC中，由余弦定理得cosA===−2bc2bc22(bc)−−2bc201从而=−，解得bc=5或bc=−4（舍）………………12分22bc1153所以S=bcsinA=5sin120=………………13分ABC224x1−x116.（1）当a=0时，fx()=，则fx()=，f(1)=0，f(1)=，exexe1所以切线方程为y=………………3分e1e−−x2x（2）当a=1时，f(x)=−xe−xxe，f(x)=(1−x)e−xx−e=………………4分ex令g(x)=1−x−e2x，gx()=−1−2e2x0故gx()在R上单调递减，而g(0)=0，因此0是在上的唯一零点即：是fx()在上的唯一零点………………6分当x变化时，fx()，fx()的变化情况如下表：(−,0)0(0,+)+−极大值fx()的单调递增区间为：；递减区间为：………………8分的极大值为f(0)=−1，无极小值.………………9分xe−x−ex−1x1（3）由题意知xe−x−aexex−1，即a，即a−，exe2xe3{#{QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=}#}x1e2x−2xe2x1−2x设，则，………………………………分m(x)=2x−m(x)=2=2x11ee(e2x)e1令m(x)=0，解得x=，211当x−,,m(x)0,m(x)单调递增，当x,+,m(x)0,m(x)单调递减，221111所以m(x)max=m=−=−，……………………………………………14分22ee2e1所以a−.………………………………………………………………………………15分2e1217．（1）方法一：AB=AB,===AAABAAAD222………………1分1121121DA=−AD−AA12111D1P=D1A+AP=(1−)AB+−AD+(−1)AA1……………2分2211D1PAC=(1−)AB+−AD+(−1)AA1(AB+AD)222112=(1−)AB+−AD+(−1)ABAA1+(−1)ADAA12211=8(1−)+8−+4(−1)=022D1P⊥AC,即D1P⊥AC.……………………………………………………5分（1）方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有A(2,−2,0)，B(2,2,0)，C(−2,2,0)，222222D−−2,2,0，Ah,,−，Ch−,,，Dh−−,,，()111222222M(0,2,0)AC=−(22,22,0)1223232AP=(1−)0,22,0()+(−22,0,0)+−,,0=−,22−,h22222322DA=,,−−h12232323232DP=DA+AP=−+,,−+h−h………………………4分112222故AC=DP0，所以DP⊥AC………………………………………5分11（2）方法一：确定正四棱台的高（传统法）取OC中点E,则C1E⊥平面ABCD，作EF⊥AM，垂足为F，连结C1F，由三垂线定理得C1F⊥AM，所以C1FE为平面AMC1与平面ABCD所成二面角的平面角，因为AB=22，333S=S=2=,……………………………………7分AME4AMC4213310EFAM=,EF=………………………………………………8分22104{#{QQABZQwUggggQIAAABgCQQHSCAAQkAGAAIoOxAAEoAAASBFABAA=}#}3210CE210cosCFE=,tanCFE=,即1=,CE=2………………11分1713EF31方法二：确定正四棱台的高（空间向量）设平面ABCD的法向量为n=(0,0,1)3232设平面AMC的法向量为mx=yz,,，AM=−2,22,0，ACh=−,,1()()122−2xy+22=0AM=m0则有，即3232，令xh=22，则mh=h(22,2,3)AC1=m0−x+y+hz=022………………8分33又题意可得cosmn,==，可得h=2………………11分8hh22++29724224因为=，经过计算可得P0,0,，D−−,,2，DP=2,2,………………13分1133223将代入，可得平面的法向量m=(42,22,3)………………14分设直线DP与平面AMC1所成角的为8442413++sincos,===DPm………………17分1691223289++++9x==OPcos6cos18.（1）设B(x,y)，=POP，则，……………3分y==OBsin3sinxy22消去得+=1所以B点轨迹的方程……………5分63（2）方法一：设M(x11,y)，N(x22,y)，直线MN的方程为y=+kxmy=+kxm222xy22消去y可得：(1+2k)x+4kmx+2m−6=0+=1632=(4km)−4(1+2k2)(2m2−6)=48k2−8m2+240，即mk22+63−4km26m2−从而xx+=，xx=1212+k21212+k2y1−1y2−1kx1+m−1kx2+m−1kkAMAN==x1−2x2−2x1−2x2−22k2xx+k(m−11)(x+x)+(m−)