专题05五类圆锥曲线题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1圆锥曲线中的轨迹方程问题】【题型2圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题】【题型3圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】【题型4圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】【题型5圆锥曲线中的极点与极线】题型1圆锥曲线中的轨迹方程问题曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．求轨迹方程的方法：定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。直接法：如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。代入法（相关点法）：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点，点坐标为，当点坐标为时，点坐标为.(1)求双曲线的标准方程；(2)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.破解：（1）第一步：设点设线联立化解韦达判别由题设，，令，则，令，则，所以，，故，所以，可得，即且过，则，所以，代入并整理得，第二步：判别式等于0则，即，又，所以，，故.（2）第一步：设点设线联立化解韦达判别由（1）联立双曲线与直线，则，所以，则，整理得，第二步：多元合一元故，，而，令，则，令，则，所以，显然，故点的轨迹方程为，即且（注意：的斜率存在），所以轨迹是去掉顶点的双曲线.已知，直线相交于，且直线的斜率之积为2.(1)求动点的轨迹方程；(2)设是点轨迹上不同的两点且都在轴的右侧，直线在轴上的截距之比为，求证：直线经过一个定点，并求出该定点坐标.破解：（1）直接法设，则直线的斜率是，直线的斜率是，所以，化简整理得：，所以动点的轨迹方程是.（2）第一步：设点设线联立化解韦达判别设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，显然，直线的方程为，即，直线的方程为，即，又双曲线的渐近线方程为，显然直线与双曲线两支各交于一点，直线与双曲线右支交于两点，则有，且，于是，由消去化简整理得：，设点，则，解得，有，由消去化简整理得：，设点，则，解得，有，第二步：含参点表示向量，，于是，设直线上任意一点，则，显然，因此，即，整理得，显然直线恒过定点，所以直线经过定点.在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.(1)求的方程；(2)设点在直线上，为的左右顶点，直线交于点（异于），直线交于点（异于），交于，过作轴的垂线分别交､于，问是否存在常数，使得.破解：（1）定义法因为、，，所以点的轨迹以为焦点的椭圆，这里，，，所以，所以椭圆的方程为.（2）第一步：设点设线联立化解韦达判别设，代入，得，即，得：，设，代入，得，即，得：，第二步：含参点表示向量，由得，得，得.代入，得，代入，得，因为，所以.所以存在常数，使得.1．M是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且．(1)求动点M的轨迹方程E；(2)设，，过点的直线l与曲线E交于A，B两点（点A在x轴上方），P为直线，的交点，当点P的纵坐标为时，求直线l的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，直线的倾斜角为，则为钝角，，所以由于位于第一象限，位于第四象限，所以的轨迹方程（2）设联立：，化简得：则，直线，直线联立消去得：又故点，直线的斜率为：联立，消去化简得：故，故,直线的方程为2．在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.(1)求的离心率；(2)若△的重心为，点，求的最小值；(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.【答案】(1)(2)(3)（去除点）.【详解】（1）因为双曲线经过点，所以，解得，所以的离心率，（2）易知.设.因为△的重心为，所以,解得,因为，所以，即.因为不共线，所以且，所以的轨迹不含两点.故，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.（3）因为为△的垂心，所以，设，当直线或的斜率为0时，点的坐标为或，此时点与点重合，不合题意，舍.当直线或的斜率不为0时，直线与的斜率存在，则，由（2）知，则，则.因为，所以，，则，得，则，因为构成三角形，故不能在轨迹上，综上，动点的轨迹方程为（去除点）.3．已知长为的线段的中点为原点，圆经过两点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点且互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，且，四边形的面积为，求实数的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知圆心在线段的垂直平分线上，则,设，圆的半径为，则，又圆与直线相切，故，于是，化简得，所以曲线的方程为.（2）设，根据可得为的中点，则，得，即，所以直线.联立方程，得，得，由，得，所以，所以.设，因为互相垂直，易知直线，联立方程，得，得，由，得，所以，所以.则四边形的面积为.令，化简得，解得（舍）或，符合，所以.4．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．①求点的轨迹方程；②若面积为，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）①：由（1）知，，设，则，易知当时，，，此时，由，解得，即；当时，，，设直线的斜率为，则，所以直线方程为，又直线方程为，由，得，即，解得，将代入直线方程，得，即，又，所以，故点的轨迹方程为；②：由，得，又，所以，得，整理得，又，所以，整理得，即，由，解得.5．已知点和直线，点到的距离.(1)求点的轨迹方程；(2)不经过圆点的直线与点的轨迹交于，两点.设直线，的斜率分别为，，记，是否存在值使得的面积为定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，【详解】（1）设点，由，当时，，不成立，所以，则，即；（2）设，，则，，又点在椭圆上，则，则，同理，设直线与的倾斜角分别为，，则，则，则，所以当时，为定值，即面积为定值.  6．已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为4.(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)若点，过点的直线交的轨迹于两点，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）设动圆圆心为，到轴距离为，动圆截轴所得半弦长为2，则，化简得；所以动圆圆心的轨迹方程为.（2）  设，当直线斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与的轨迹方程联立得消去得，由在抛物线内部，故，所以.由（1）知，为轨迹的焦点，由抛物线定义得，，所以当时，的最小值为；当直线斜率不存在时，.由抛物线定义知.综上，的最小值为.7．在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使.(1)求点的轨迹的方程；(2)求的外心的纵坐标的取值范围；(3)设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【详解】（1）设，则的重心.，，则，为垂心，故因为存在使，故，所以，，而，由垂心定义得，即，整理得，所以点的轨迹的方程为.（2）  由外心的定义知点在轴上，则，的中点，，所以，整理得.与的方程为联立，得.因为，所以.（3）由对称性，不妨设点在第一象限，设，，直线：，联立方程得，，整理得；，又，所以.由条件知，，，所以三点共线且所在直线平行于轴，由，知，所以.令，解得（舍去）.又点在直线：上，所以，即，所以.又，联立得，所以.又，所以，即，所以.所以，当点在第一、四象限时，；当点在第二、三象限时，.故存在实数使.8．已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.(1)求的轨迹方程；(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，12【详解】（1）由题意设点，由于，故，整理得，即的轨迹方程为；（2）由题意知直线的斜率分别为，，且满足，设直线的方程为，令，则可得，即，直线，同理求得，又直线的方程为，令，得，即，故，当时，取到最大值12，即存在最大值，最大值为12.题型2圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题：已知点是椭圆上的一个定点，是椭圆上的两个动点。若直线，则直线过定点且定点为；当时，为定值；证明:重新建系将椭圆上的成为新的坐标原点按得椭圆又点在椭圆上，所以，代入上式可得①椭圆上的定点和动点分别对应椭圆上的定点和动点，设直线的方程为，代入①得。当时，两边除以得．，因为点的坐标满足这个方程，所以是这个关于的方程的两个根．若，由平移斜率不变可知，故，当时，所以，由此得。所以的斜率为定值，为定值；即，由此知点在直线上，从而直线过定点．：已知点是平面内一个定点，椭圆：上有两动点若直线，则直线过定点．证明：重新建系将椭圆上的成为新的坐标原点按椭圆：，展开得：．平面内的定点和椭圆上的动点分别对应椭圆上的定点和动点、，设直线的方程为，代入展开式得（构造齐次式），当时，两边同时除以整理得，因为点的坐标满足这个方程，所以和是关于的方程的两根．若，由平移斜率不变可知所以整理可得到和的关系，从而可知直线过定点，由平移规律可得直线过定点．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，探究：直线是否过定点，并说明理由.解：（1）由点是椭圆的一个顶点，可知，又是等腰直角三角形，可得，即，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）设，线段的中点坐标，可得，即又点是椭圆上一动点，所以，整理得所以线段的中点的轨迹方程是：齐次化方法第一步：明确定点第二步：重新建系第三步：联立齐次式设直线方程为，故第四步：同时除以得故故定点为第五步：还原成原直角坐标系的定点故定点为已知椭圆的左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且不过点的直线交椭圆于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．解：（1）根据点在椭圆上，得．由，得．因为，所以，所以椭圆的标准方程为．齐次化方法第一步：明确定点第二步：重新建系第三步：联立齐次式设直线方程为，故第四步：同时除以得过故如图，椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．解：（1）由题意知，，结合，解得，椭圆的方程为；齐次化方法第一步：明确定点第二步：重新建系第三步：联立齐次式设直线方程为，故第四步：同时除以得过故1．已知椭圆经过点，下顶点为抛物线的焦点．(1)求椭圆的方程；(2)若点均在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，（ⅰ）求证：直线过定点；（ⅱ）当时，求直线的方程．【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【详解】（1）抛物线的焦点为，所以椭圆的下顶点，则，又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆方程为；（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，设，则，所以，则，与矛盾，所以直线的斜率存在，由已知直线斜率同号，因此直线的斜