决胜新高考——2024届高三年级大联考数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含［单选题（1~8）多选题9~12，填空题（第13题～第16题，共80分）、解答题（第17～22题，共70分）。本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回。2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝23，b·(2a－b)=18，则a与b的夹角等于A．30B．60C．120D．1502.若复数zcosisin，则z22i的最大值是A．221B．221C．21D．2233.已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列如下：甲队：7，12，12，20，20x，31；乙队：8，9，10+y，19，25，28.这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则xy的值为A．3B．4C．5D．6已知x1，，则的值为4.x124x2log2x24x1x2A．2B．3C．4D．5π5.若3sin4cos5，则tan()411A．7B．7C．D．776.经过抛物线C：y24x焦点F的直线与C交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若AF，AP，BF成等差数列，则AB816A．23B．26C．D．33高三数学第1页（共4页）{#{QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=}#}{#{QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=}#}7.贝塞尔曲线(Beziercurve)是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数f(x)的图象是可由A，B，C，D四点确定的贝塞尔曲线，其中A，D在f(x)的图象上，f(x)在点A，D处的切线分别过点B，C.若A(0，0)，B(1，1)，C(2，2)，D(1，0)，则f(x)A．5x34x2xB．3x33xC．3x34x2xD．3x32x2x8.已知函数f(x)x28x，且点P(x，y)满足f(x)f(y)≤32，f(y)≤0，若记点P构成的图形为，则的面积是64π64πA．163B．163C．64163D．6416333二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。21023209.若(xx2)a0a1xa2xa3xa20x，则．．Aa01024Ba11．．Ca1910Da1a3a5a1951210.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布N(5.40,0.052)，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间(5.35,5.55)，则下列说法正确的是（若N(,2)，则P()0.6826,P(33)0.9974）A．PBAPBB．PABPABC．P5.355.550.84D．Pm45取得最大值时，M的估计值为5311.若正实数a，b满足12abab，则A．b12B．有序数对(a，b)(a，bN*)有6个C．ab的最小值是1243D．a2b22a24b1210高三数学第2页（共4页）{#{QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=}#}{#{QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=}#}三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．112.将函数f(x)sin(2x)图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的2π图象向左平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的的值▲6113.已知定义在R上的fx满足f()0，且f(xy)f(x)f(y)4xy，则f(0)▲214.已知一个顶点为P，底面中心为O的圆锥的体积为9π，该圆锥的顶点P和底面圆周均在球O1上.若圆锥的高为3，则球O1的半径为▲；球O1的体积的最小值是▲.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤。15.(13分)，，如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3EF分别是BD，DD1的中点，M是A1B1上一点，且BM平面EFA1.(1)求MA1；(2)求直线EC1与平面EFA1所成角的正弦值.16.(15分)已知函数f(x)alnxx23在x1处的切线经过原点.（1）判断函数f(x)的单调性；（2）求证：函数f(x)的图像与直线y5x有且只有一个交点.ACAD17.(15分)在△ABC中，点D在AB边上，且满足.BCBD（1）求证：ACDBCD；（2）若tanAtanB3tanAtanB30，CD2，求△ABC的面积的最小值.高三数学第3页（共4页）{#{QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=}#}{#{QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=}#}18.(17分)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn.（1）求P2；1（2）①求证：数列Pn是等比数列；2n②求(iPi).i119.(17分)x2y233已知椭圆C:1(ab0)的左右顶点分别为A，B，且(1，)，(1，)，(1，1)，(2，0)a2b222四个点中恰有三个点在椭圆C上.若点P是椭圆C内（包括边界）的一个动点，点M是线段PB的中点.133（1）若OM，且PB与OM的斜率的乘积为，求△PAB的面积；44（2）若动点D满足DBDP0，求DO的最大值.高三数学第4页（共4页）{#{QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=}#}{#{QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=}#}决胜新高考——2024届高三年级大联考数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.D2.B3.A4.C5.B6.D7.C8.A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.ACD10.ACD11.AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．24312.k,kZ13114.3；68四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分)如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，EF，分别是BD，DD1的中点，M是AB11上一点，且BM平面EFA1.(1)求MA1的长；(2)求直线EC1与平面所成角的正弦值.，解：（1）如图，以点A为原点，分别以直线ABAD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则ABA0，0，0，3，0，0，10，0，3，333EFBC，，00，330，33，3，311，，，，，，22233333所以EFEA，，，1，，3.22222设平面的一个法向量为nxyz，，，33xy30z，EA1n0，22由得，，333EFn0xyz0，222x3，取y1，则，z2，故n3，1，2.………………………………3分试卷第1页，共7页{#{QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=}#}{#{QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=}#}设Mt，03，，则BMt303，，.因为BM平面EFA1，所以nBMt3(3)230，所以t1，所以MA11.………………………………7分33（2）因为EC1，，3，………………………………9分22平面的一个法向量为n31，2，，设直线EC1与平面所成角为，33,,33,1,2EC1n22421故sincosEC1，n，ECn99211991444所以直线与平面所成角的正弦值为421.………………………………13分2116（15分）已知函数fxaxx()ln32在x1处的切线经过原点.（1）判断函数fx()的单调性；（2）求证：函数的图像与直线yx5有且只有一个交点.解：（1）因为fa(1)ln1134，所以切点为(14，).a因为fxx()2，所以fa(1)2，x所以切线方程为y4(a2)(x1).………………………………3分因为切线经过原点，所以04(2)(01)a，所以a2.2故fxx()20，x所以在(0，)上单调递增.………………………………6分（2）设g()xf()5xx2lnxx235(xx0)，252xx2(21)(2)xx则gx().………………………………8分xx1因为当x(0，)时，gx()0，gx()单调递增，21当x(，2)时，gx()0，单调递减，2e3ln1115338ln2且g()2ln()322ln22560，2222444试卷第2页，共7页{#{QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=}#}{#{QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=}#}111因为g()0，且当x(2)，时，gx()单调递减，所以gg(2)()0222所以当x(02，)时，gx()0，所以函数gx()在时没有零点，所以当时，函数fx()的图像与直线yx5没有交点.…………………11分当x(2)，时，gx()0，单调递增，又因为g(5)2ln530，且函数gx()的图像是不间断的，所以当时，函数有且只有一个零点，函数的图像与直线有且只有一个交点.综上所述，函数的图像与直线有且只有一个交点.…………………15分