岳阳市2024届高三教学质量监测（三）数学参考答案及评分标准一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.B2.C3.A4.B5.D6.D7.B8.C二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．)9.BD10.ABD11.ABD三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)12.52513.；（答案不唯一，符合k,且2k,kZ即可）1212122614.3四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）已知等差数列满足：，且、、成等比数列．{an}a12a1a2a4(1)求数列{an}的通项公式；4n2(2)若等差数列{an}的公差不为零且数列{bn}满足：bn，求数列{bn}的(an1)(an1)前n项和Tn.解析：设数列的公差为，依题意，，成等比数列，分and22d,23d---------------------1所以（2d）2（223d），解得d0或d2，---------------------3分当时，；分d0an2---------------------4当时，分d2an2(n1)22n---------------------5所以数列的通项公式为或分anan2an2n---------------------6因为等差数列的公差不为零，由知*，(2){an}(1)an2n(nN)4n24n2则bn---------------------7分(an1)(an1)(2n1)(2n1){#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}4n211111所以b1()---------------------10分n(2n1)(2n1)22n12n1111111111111所以T[1()][1()][1()][1()]n21323525722n12n1111nTn()n---------------------13分n212n12n116.（本小题满分15分）某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示.（1）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(,2)，其中为样本平均数的估计值，11.5，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数；（2）复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在33复试中前两题每道题能答对的概率均为，后两题每道题能答对的概率均为，且每道题45回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大？附:若随机变量服从正态分布N(,2)，则:P()0.6827，P(22)0.9545，P(33)0.9973.解析：(1)由题意得，样本平均数的估计值为400.010500.020600.030700.024800.012900.0041062---------------------3分因为学生初试成绩X服从正态分布N,2，其中62，11.5则285.{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}---------------------5分10.9545所以P(X85)P(X2)0.02275---------------------7分2所以估计初试成绩不低于85分的人数为0.022758000182人---------------------8分（2）记该考生的复试成绩为Y，则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分---------------------9分13332117P(Y20)()2()2()2C1---------------------10分45425540031354P(Y25)C1（）2---------------------12分24454003381P(Y30)()2（）2---------------------14分45400所以该考生进入面试的概率为117548163P(Y20)P(Y25)P(Y30)---------------------15分40040040010017.（本小题满分15分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，DAB60，PAPC,PBPD210，M是线段PC上的点，且PC4MC.（1）证明：PC平面BDM.（2）点E在直线DM上，求BE与平面ABCD所成角的最大值.解析：连AC,BD交于点O,连PO，由PAPC,PBPD210知POAC,POBD,又ACBDO,PO平面ABCD又底面ABCD为菱形，所以ACBD---------------------2分以O为坐标原点，OB,OC,OP分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示DAB60，边长为4，则ODOB2,OAOC23在直角三角形BOP中，PB210所以OP6---------------------4分{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}所以点O(0,0,0),P(0,0,6),B(2,0,0),D(2,0,0),C(0,23,0)333PC4MC，则M(0,,)22333333所以PC(0,23,6),DM(2,,),BM(2,,),2222333所以PCDM0223(6)0,22333PCBM0(2)23(6)0,---------------------6分22所以PCDM,PCBM所以PCDM,PCBM又DMBMM所以PC平面BDM---------------------8分（2）设DEDM，333333则E(22,,)，所以BE(24,,)2222平面ABCD的一个法向量是n(0,0,1)，设BE与平面ABCD所成角为，则33|||||BEn|sin|cosBE,n|22|BE||n|3331321616(24)2()2()222---------------------11分当0时，BE平面ABCD，0；当0时，3||331sin2-----------------13216161122131616213216（）922分又[0,]所以，故BE与平面ABCD所成角的最大值为---------------------15分266{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}18.（本小题满分17分）已知动圆P过定点F(0,1)且与直线y3相切，记圆心P的轨迹为曲线E.（1）已知A、B两点的坐标分别为(2,1)、2,1，直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，证明：k1k21；（2）若点M(x1,y1)、N(x2,y2)是轨迹E上的两个动点且x1x24，设线段MN的中点为Q，圆P与动点Q的轨迹交于不同于F的三点C、D、G，求证：△CDG的重心的横坐标为定值.解析：（1）设点P(x,y)，依题有(x0)2(y1)2|y3|化简并整理成x24y8圆心P的轨迹E的方程为x24y8---------------------4分y1y1k，k，1x22x2y1y14(y1)kk，又x24y812x2x2x24所以k1k21---------------------7分（2）显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为ykxbx24y8由消y并整理成x24kx4b80ykxb在判别式大于零时，x1x24b8，又x1x24所以b1---------------------9分所以x24kx40，ykx1，2x1x24ky1y2k(x1x2)24k2{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}所以线段MN的中点坐标为Q(2k,2k21)---------------------10分x2k设，则消得2Q(x,y)2kx2y2y2k1所以Q的轨迹方程是x22y2---------------------11分圆P过定点F(0,1)，设其方程为x2(y1)2axb(y1)0x2(y1)2axb(y1)0由得42---------------------13分2x(42b)x4ax0x2y2设C、D、G的横坐标分别为c,d,g因为C、D、G异于F，所以c,d,g都不为零故x3(42b)x4a0的根为c,d,g令(xc)(xd)(xg)0即有x3(cdg)x2(cddggc)xcdg0所以cdg0---------------------16分故△CDG的重心的横坐标为定值.---------------------17分19.（本小题满分17分）已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c且c2b，点D在边BC上，AD是BAC的角平分线，设ADkAC（其中k为正实数）.（1）求实数k的取值范围；35b（2）设函数f(x)ax3bx2cx.32223①当k时，求函数f(x)的极小值；3②设x0是f(x)的最大零点，试比较x0与1的大小.11解析：(1)设BAC2，由题知：(bc)ADsinbcsin2，224代入c2b，ADkAC，化简得：kcos，---------------------2分34因为(0,)，所以实数k的取值范围(0,).---------------------4分23{#{QQABDYAEggiAApAAABgCAQ2iCkEQkBEAAAoGRBAEsAAAyRFABCA=}#}2aa法二：c2b及由角平分线性质知BD,DC33在△ABD和△ADC中由余弦定理得AB2BD2AD22BDADcosADB,AC2CD2AD22CDADcosADC所以2a2aaac2()2(kb)22kbcosADB,b2()2(kb)22kbcosADC3333又ADBADCπ，则cosADBcosADC02a22a2所以c22b23(kb)2,又c2b，所以(63k2)b2---------------------2分33b2ba在△ABC中有，ab2ba3(