Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CDBACDBB8．设PFm==PFn,,由双曲线的定义知mn−=a2①，在中，由余弦定理得12F12PF222642coscmnmnF222=+−PF，=+−4cmnmn②，又232mnac22+=+22，127()()()94ac22+1mn22+=③，由①③得mn=+a22c④，把③④代入②得24229ac+461224c2=−(a2+c2)，化简得20ca=30,20a2+20b2=30a2=ab2,渐近线方程274为xy=20．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案BCACDABD11．A选项当+=1时，点P在线段DB1上，且D1B//EF，VVD−−PEF=BDEF为定值，A正确．13B选项当==时，点为线段的中点，易求正四棱锥P−ABCD的外接球的半径为，249则表面积是，B正确．4C选项点在矩形D11BBD及其内部，取线段AD11的中点F1，由对称性知，PF=PF1，553PF+PE=PF+PEFE=PF+PE+FE+，C错误．1122266D选项AP=，又点在矩形及其内部，点的轨迹为点A为球心，半径长为22的球面被平面截且在矩形及其内部的图形，为圆（部分），22621，该圆是以BD的中点为圆心，半径为1的圆的一部分（即圆周），r=−=1224则轨迹长为，D正确．2Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考数学参考答案第1页共5页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．1112．3；13．180；14．,2e214．不等式可化为(2ax−lnx)(2ax−(x2−x+1))0，2即ln2x1axx−x+，数形结合得，k12ak2其中k1为过原点且与yx=ln相切的直线，k2为过原点1且与yx=x−+21相切的直线，易得kk==,1．12e111故21a，a．e2e2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15．（13分）解：（1）由题意aaaada2211nn=+=+=+21211①…………………………………………2分22aaaadaadda2151111=+=+=()(4)2②……………………………………………2分由①②可得ad1==1,2…………………………………………………………………2分所以an=1+(n−1)2=2n−1…………………………………………………………………1分()a+an（2）a+a+a+……+a=12n−1=na=2n2−n………………………………………6分1352nn−1216．（15分）解：（1）取BD的中点M，连AM，CM，由AB=AD=BC=BD，可得BD⊥AM，BD⊥CM，………………………………2分又因为AMCM=M，AM、CM平面ACM，所以BD⊥平面ACM，……………………………………………………………………2分因为AC平面ACM，所以AC⊥BD.……………………………………………2分（2）方法1：因为BD=23，所以AM==CM1，又AC=3，所以=AMC120，由（1）可得，所以平面BCD⊥平面ACM，3作AH⊥CM交CM延长线于点H，则AH⊥=平面BCD且AH，…………………3分2设点B到平面ACD的距离为h，VVB−−ACD=ABCD………………………………………………………………………………2分113Sh=S3ACD3BCD2132323h=22=………………………………………2分11313322设直线AB与平面ACD所成角为Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考数学参考答案第2页共5页h39sin==AB1339所以直线AB与平面ACD取成线面角的正弦值为.………………………………2分13方法2：因为BD=23，所以AM==CM1，又AC=3，所以=AMC120，由（1）可得BDA⊥C平M面所以平面BCDACM⊥平面，作AHCM⊥交CM延长线于点H，3则AHBCDAH⊥=平面且，2如图，以MB为x轴，MC为y轴，zA轴H//建立空间直角坐标系13A(0,,−)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，D(3,0−,0)………………………………………3分223313AC=−(0,,)，DC=(3,1,0)，AB=−(3,,)2222设面ACD的一个法向量为n=(,,)xyznAC=03y=3z令x=1,则y=−3，z=−3n=DC030xy+=所以n=(1,−3,−3)…………………………………………………………………………4分设直线AB与平面ACD所成角为|ABn|2339sin=|cosAB,n|===|AB||n|13213所以直线与平面取成线面角的正弦值为.………………………………2分17．（15分）解：（1）依题意，P1=1，P2=10.4=0.4，P3=0.40.4+0.60.6=0.52………………3分13依题意P=0.4P+0.6(1−P)=−P+，………………………………………2分nn−1n−15n−15111整理得P−=−(P−)，n25n−121111所以Pn−是以P1−=为首项，−为公比的等比数列，………………………2分2225111111即P−=(−)n−1，P=+(−)n−1.…………………………………………………1分n225n225（3）X=200,300………………………………………………………………1分P(X=300)=0.8Pn+0.2(1−Pn)=0.6Pn+0.2，……………………3分则他第n天通过运动锻炼消耗的能量X的期望为300P(X=300)+200(1−P(X=300))1=200+100P(X=300)=220+60P=250+30(−)n−1.………………3分n5Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考数学参考答案第3页共5页18．（17分）解：c3x2（1）由题意c=3，=，解得：a=2，b=1，所以椭圆C的标准方程为+=y21.a24………………………………………………4分yxm=+（2）折叠前设A(x,y)，Bx(,y)，联立++−=584(1)0xmxm22112222xy+=448mxx+=−125直线yk=+xm与椭圆交于不同两点，所以0，解得m25，从而4(1m)2−xx=125因为AB位x于轴两侧，则m24，从而−2m2…………………………………4分以O为坐标原点，折叠后，分别以原y轴负半轴，原x轴，原轴正半轴所在直线为x，，z轴建立空间直角坐标系，则折叠后Ax(0y,,)11，By(x,−,0)22…………………1分2①折叠后OAO⊥B，则OA=OB0，即xx12=0，所以m=1，m=1.…………2分42②折叠前|AB|=2|x−x|=2(x+x)22−4xx=5−m……………………2分1212125折叠后44−−xx2237||AByxxy=2+()−2+2=21++()=2+()xx−2xxxx+2−22114421412212120−22m2=……………………………………………………………………2分5120−22m234215所以=5−m2，解得m2=，此时直线l与椭圆无交点54523故不存在m，使折叠后的AB与折叠前的长度之比为.……………………2分419．（17分）解：（1）函数yx=3不是“旋转函数”，理由如下：6逆时针旋转后与y轴重合，当x=0时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，因此函数不是“旋转函数”.………………………………3分（2）由题意可得函数f(x)=ln(2x+1)(x0)与函数y=+kxb最多有1个交点，且k=−tan()2即ln(2x+1)=kx+b(x0)最多有一个根，ln(2x+1)−kx=b(x0)即函数y=ln(2x+1)−kx(x0)与函数y=b()bR最多有1个交点，即函数y=ln(2x+1)−kx在(0,+)上单调，……………………………………………2分Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考数学参考答案第4页共5页2yk=−．21x+222因为x0，(0,2)，所以yk=−0，k，所以k2，………2分21x+21x+21x+11即tan()2−，tan，即tan的最大值为.………………………………2分222x2（3）由题意可得函数gxmxxx()(1)eln=−−−x与函数yx=+b最多有1个交点，2xx22即mxxxxbmxxxxb(1)eln(1)eln−−−=+−−−−=xx，22x2即函数ymxxxx=−−−−(1)elnx与函数yb=最多有1个交点，2x2即函数ymxxxx=−−−−+(1)eln(0,)x在上单调，2ymxxx=−−−eln2x，当x→0时，y→+，lnxx++2所以ym0()，…………………………………4分xexmaxlnxx++2(x+1)(−lnx−x−1)令()x=，则()x=，xexx2ex1因为t=−lnx−x−1在(0,+)上单调减，且t()0，t(1)0，411所以存在x(,1)，使tx()=0，即lnx+x=−1ln(xexx00)=−1xe=，0400000e所以()x在(0,x0)，(x0,+)，lnxx++21所以(xx)=()=00==e，max0xx00xx00ee即me.……………………………………4分Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考数学参考答案第5页共5页