黄金冲刺大题02数列（精选30题）1．（2024·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，.(1)求，，并证明：数列是等差数列；(2)求.【答案】(1)，，证明见解析；(2)420.【分析】（1）直接代入可得，再代入，结合的值求出；再由仿写出，作差后得到，即可证明结果.（2）由（1）知数列为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可.【详解】（1）当时，由条件得，所以.当时，由条件得，所以.因为，所以（），两式相减得：，即，所以，从而数列为等差数列.（2）由（1）知，所以，所以数列为等差数列，首项为，所以，所以.2．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列满足，（）．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：．【答案】(1)，；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前项和公式求解即得.（2）利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）数列中，当时，，即，则，而满足上式，所以数列的通项公式是，．（2）由（1）知，，则，因此，而，则，所以．3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足且．(1)求数列的通项公式．(2)求数列的前100项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由递推公式得，当，是首项为1，公比为2的等比数列，令，是首项为2，公比为2的等比数列，分别求出通项公式即可；（2）由分组求和，分别计算奇数项和偶数项之和，再根据等比数列前项和公式计算即可．【详解】（1）由题意，得当时，，①．②将①代入②，得，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．又因为，所以，所以．令，则，而，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以．所以．（2）．4．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据通项与前项和之间的关系，作差可得，即可利用等比数列的定义求解，（2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.【详解】（1）时，，即.又，也符合，所以时，，即.又，所以，所以，所以数列成等比数列.（2）由（1）易得.由可得，所以.所以，所以.令，则，所以，所以.5．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，令，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意可得，解方程求出，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，由累乘法可求出的通项公式，再由裂项相消法求解即可.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为．由，得，解得：，所以．（2）由（1）知，，即，，，……，，利用累乘法可得：，也符合上式，所以．6．（2024·浙江·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足.(1)求，，，并求数列的通项公式；(2)记，求数列的前和.【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）根据题意理解可求，，，结合与互素的个数可求数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题意可知，，，由题意可知，正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；（2）由（1）知，所以，所以，，所以，①，②所以①－②得，所以.7．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)若且，记，讨论数列的单调性．【答案】(1)(2)当时，单调递增；当时，单调递减【分析】（1）分两种情况讨论，和，即可求解；（2）先计算出和，当时，计算出，令，再检验两端点，即可得出的单调性．【详解】（1）由已知得，当时，，当时，①，②，②①得，，即，所以．（2）当时，，，当时，，当时，，，，显然，当时，单调递减，令，即，解得，所以当时，，单调递增，又，所以当时，单调递增；当时，，又，所以当时，单调递减．8．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，可证明数列为首项为，公差为的等差数列，得到，利用得到的通项公式；（2）由（1）知，，化简可得，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和.【详解】（1）当时，由，即，解得：，所以，则数列为首项为，公差为的等差数列；所以，则，当时，，当时，满足条件，所以的通项公式为（2）由（1）知，，所以，故，即9．（2024·福建三明·三模）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围；(3)记，求证：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）当时求出，时，用，即可求解；（2）由得出，由得，根据对勾函数的单调性及的值，即可求出得范围；（3）由（1）得，则，根据放缩法得即可证明．【详解】（1）当时，，当时，，时成立，所以．（2）由得，，显然时，单调递增，，由得，，又，当且仅当时，即时等号成立，因为，，且，，，所以当时，，解得，当时，，解得，所以．（3）证明：由（1）得，，因为所以．10．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，．(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式可得、，解之即可求解；（2）由（1）得，结合裂项相消求和法和等比数列前n项和公式计算即可求解【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为，由，，得，，两式相除得，所以，所以，．（2）由（1）得，所以，所以．11．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用数列的和与项的关系构造①，②两式，相减即得数列的通项；（2）求出，将其裂项后，进行求和，消去中间项即得.【详解】（1）当时，．依题意，①当时，②．①－②得，所以．因时，该式也成立，故的通项公式为．（2）由（1）知，由可得则．12．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）考查与的关系，借助与的关系的解题步骤①，②，③检验的思想方法进行求解即可.（2）先求出，再求和，当时对进行放缩变形即可求和证明出不等式.【详解】（1）当时，；当时，①，②．①②得，因为不满足上式，所以.（2）由（1），因为，所以，当时，；当时，，综上，对任意的，.13．（2024·全国·模拟预测）已知数列的各项均不小于1，前项和为是公差为1的等差数列．(1)求数列的通项公式．(2)求数列的前项和．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用前项和与通项公式之间的关系判定是等差数列，再求通项公式即可.（2）对需要求和的数列先进行化简，再利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由，得．因为是公差为1的等差数列，所以．当时，．两式相减，得，所以，又，所以，则，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以．（2）由（1）可知，，则，所以数列的前项和．14．（2024·安徽·模拟预测）已知数列的首项，且满足．(1)求的通项公式；(2)已知，求使取得最大项时的值．（参考值：）【答案】(1)(2)4【分析】（1）由递推关系将已知等式变形为，即可求出通项；（2）由已知可设，代入解不等式组求出即可.【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以.（2）由（1）有，所以，设时，最大，因为，所以，即，解得，又，所以，所以使取得最大项时的值为4.15．（2024·辽宁·一模）已知为数列的前n项和，满足，且成等比数列，当时，．(1)求证：当时，成等差数列；(2)求的前n项和．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】(1)利用得到和的关系即可证明；(2)结合(1)中结论得，求出和公比，得到通项公式，从而根据等差和等比数列前n项和公式即可求解．【详解】（1）∵，∴，，两式相减，得，即．当时，，∴，∴当时，成等差数列．（2）由，解得或，又成等比数列，∴由(1)得，进而，而，∴，从而，∴，∴．16．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得；（2）求出数列的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求得.【详解】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以，解得或，当时，；当时，所以数列的通项公式为或.（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知，则，所以，即.17．（2024·湖南·二模）记为数列的前项和，已知.(1)证明：数列是等比数列；(2)求最小的正整数，使得对一切都成立.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）用替换已知，再与已知作差，得到，即可得证；（2）由（1）可得，利用错位相减法求出，进而得到结果.【详解】（1）由题知，用替换上式的，得.两式作差，，即.而由，可得.从而是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得，于是，设，则，当时，，故，两式作差，得.整理可得.故，又，因此满足条件的最小正整数为.18．（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足(1)写出;(2)证明:数列为等比数列;(3)若，求数列的前项和.【答案】(1)，，(2)证明见解析(3)【分析】（1）由数列的递推式，分别令，2，3，计算可得所求值；（2）推得，由等比数列的定义，可得证明；（3）求得，，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】（1）由可得；；；（2）证明：由题可得，则数列是首项为1，公比为2的等比数列；（3）由（2）可得，即，，，前项和，，两式相减可得，化简可得．19．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，求得，解法1：根据题意，转化为，结合，结合基本不等式，即可求解；解法2：根据题意，转化为，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：当时，，解得，当时，，两式相减可得，，则，叠加可得，，则，而时也符合题意，所以数列的通项公式为．（2）解：由（1）知，可得，故；解法1：由，可得，即，即则，又由，当且仅当时取等号，故实数的取值范围为．解法2：由，可得，当，即时，，则，故实数的取值范围为．20．（2024·湖北·二模）已知各项均不为0的数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)若对于任意成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，得到时，，两式相减得到，得到及均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；（2）由（1）求得，证得为恒成立，设，求得数列的单调性和最大值，即可求解.【详解】（1）解：因为数列的前项和为，且，即，当时，可得，两式相减得，因为，故，所以及均为公差为4的等差数列：当时，由及，解得，所以，，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，可得，因为对于任意成立，所以恒成立，设，则，当，即时，当，即时，所以，故，所以，即实数的取值范围为.21．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，(1)求数列的通项公式；(2)数列的前项和为，且满足，，求．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）依题意可得，即可得到为等差数列，即可得到，再利用累加法计算可得；（2）由（1）可得，由，得到与同号，再对分类讨论，利用并项求和法计算可得.【详解】（1）因为，所以，所以数列是公差为的等差数列，其首项为，于是，则，，，，，所以，所以；而符合该式，故.（2）由（1）问知，，则，又，则，两式相乘得，即，因此与同号，因为，所以当时，，此时，当为奇数时，，当为偶数时，；当时，，此时，当为奇数时，