2024届高三考前模拟训练数学第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有一组样本数据：a1,,,,,,a2a3a4a5a6a7，其平均数为2024．由这组数据得到新的样本数据：a1,,,,,,a2a3a4a5a6a7，2024，那么这两组数据一定有相同的（）A．极差B．中位数C．方差D．众数1+2i2．复数z=，在复平面内z对应的点位于（）1-iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若a>b，则下列说法正确的是（）A．a2>b2B．lg(a-b)>0C．a5>b5D．a3>b34．蜜蜂是母系社会生物，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的，下图是某只雄峰的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈．其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记Fn表示该雄蜂上溯第n代祖辈数量，例如F1=1，那么下列结论中不正确的是（）A．FFn+1>nB．FFF10+12>211C．F10>55D．FFFF7+10<8+9æπö5．己知aÎç0,÷,3sin2a=cos2a+1，则tan2a=（）è2ø34A．2B．3C．D．436．某天小明打算出门去健身中心锻炼，起床发现闹钟停了，随意把闹钟调到6点30分，并使闹钟正常行走后，就出发去健身房。当到那里时，他看到墙上的时钟显示为7点10分，在那里跑步一小时五十分钟后结束锻炼，然后用同样的时间回到家，这时家里闹钟显示为9点10分。请问此时小明该把时间调到几点才和实际时间相符（）学科网（北京）股份有限公司A．9点20分B．9点25分C．9点5分D．8点55分7．过点Pa,b作圆x2+y2=2的切线，A为切点，|PA|=1，则2a-b的最大值是（）A．15B．13C．4D．3uuuuruuuuruuuur8．三棱锥P﹣ABC所有棱长都等于2，动点M在三棱锥P﹣ABC的外接球上，且AM×BM=0,|PM|的最大值为s，最小值为t，则s:t=（）A．2B．2C．3D．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。π9．已知函数f(x)=sin2x+j00．(1)求证：CD^平面ADD1A1．6(2)若直线AA与平面ABC所成角的正弦值为，求k的值117(3)现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f()k，写出f()k的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)17．(本小题满分15分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：学科网（北京）股份有限公司以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求PX£n³0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个?18．(本小题满分17分)在直角坐标系xOy中，点P到点(0，1)距离与点P到直线y=-2距离的差为﹣1，记动点P的轨迹为W．(1)求W的方程；(2)设点P的横坐标为x0()x0<0．(ⅰ)求W在点P处的切线的斜率(用x0表示)；(ⅱ)直线l与W分别交于点A，B．若PA=PB，求直线l的斜率的取值范围(用x0表示)．．本小题满分分已知*是曲线上的点，是数列的前项和，19(17)Anan,bnnÎNy=lnxa1=a,Snann且满足222Sn=3nan+Sn-1,n=2,3,4,L(1)求a2,a3；(2)确定a的取值集合M，使aÎM时，数列an是单调递增数列；证明：当时，弦*的斜率随单调递减．(3)aÎMAnAn+1nÎNn2024高三模拟数学参考答案1．A2．B3．C4．D5．C6．B7．A8．C3π9．ACD10．AD11．BD12．2813．14．37315．解：(Ⅰ)∵f(x)=x3+ax2+bx+1，∴f¢(x)=3x2+2ax+b．令x=1，得f¢(1)=3+2a+b=2a，解得b=-3学科网（北京）股份有限公司3令x=2，得f¢(2)=12+4a+b=-b，因此12+4a+b=-b，解得a=-，235因此f(x)=x3×x2-3x+1，∴f(1)=-，22æ3öæ5ö又∵f¢(1)=2´ç-÷=-3，故曲线在点1,f1处的切线方程为y-ç-÷=-3(x-1)，è2øè2ø即6x+2y-1=0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=3x2-3x-3e-x从而有g¢(x)=-3x2+9xe-x，令g¢x=0，则x=0或x=3∵当xÎ(-¥,0)时，g¢x<0，当xÎ(0,3)时，g¢x>0，当xÎ(3,+¥)时，g¢x<0，∴g(x)=3x2-3x-3e-x在x＝0时取极小值g(0)=-3，在x=3时取极大值g(3)=15e-316．(Ⅰ)取CD中点E，连接BE，∵AB//DE，AB=DE=3k∴四边形ABED为平行四边形∴BE//AD且BE＝AD＝4k在△BCE中，∵BE=4k,CE=3k,BC=5k，∴BE2+CE2=BC2．∴ÐBEC=90°，即BE^CD，又∵BE//AD，所以CD^AD∵AA1^平面ABCD，CDÌ平面ABCD∴，又，平面AA1^CDAA1IAD=A\CD^ADD1A1uuuruuuruuuur(Ⅱ)以D为原点，DA,,DCDD1的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A(4k,0,0)，uuuruuuruuurC(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1)，所以AC=(-4k,6k,0),AB1=(0,3k,1),AA1=(0,0,)1uuurïìAC×nr=0设平面ABC的法向量nr=(,,)xyz，则由1írîïAB1×n=0学科网（北京）股份有限公司ì-4kx+6ky=0得í取y=2，得nr=(3,2,-6k)î3ky+z=0uuuruuurAA,nr6k6设AA与平面ABC所成角为θ，则sinq=cosAA,nr=1==，111uuurr27AA1×|n|36k+13解得k＝1．故所求k的值为1．ì572k2+26k,0îï1817．(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，18．从而PX(=16)=0.2´0.2=0.04；PX(=17)=2´0.2´0.4=0.16；PX(=18)=2´0.2´0.2+0.4´0.4=0.24；PX(=19)=2´0.2´0.2+2´0.4´0.2=0.24；PX(=20)=2´0.2´0.4+0.2´0.2=0.2；PX(=21)=2´0.2´0.2=0.08；PX(=22)=0.2´0.2=0.04．所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知PXPX(£18)=0.44,(£19)=0.68，故n的最小值为19．(3)购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用．当n=19时，费用的期望为：19×200＋500×0.2＋1000×0.08＋1500×0.04＝4040；当n=20时，费用的期望为：20×200＋500×0.08＋1000×0.04＝4080．可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19．18．解：(1)设点P的坐标为(,)xy．由题意得(x-0)2+(y-1)2-|y-(-2)|=-1．即x2+(y-1)2=|y+2|-1．ïìy+2³0,ïìy+2<0,所以或í22í22îïx+(y-1)=y+1.îïx+(y-1)=-y-3.学科网（北京）股份有限公司ìy+2³0,ìy+2<0,整理得或故的方程为2．í2í2Wx=4yîx=4y.îx=8y+8.x2xx(2)(ⅰ)因为W为y=，所以y¢=．所以W在点P处的切线的斜率为：0．422(ⅱ)设直线l为y=kx+m，点M为线段AB的中点．当k＝0时，不合题意，所以k¹0．2ìx=4y,2因为点A，B满足í所以xAB,x满足x-4kx-4m=0．îy=kx+m.ìD=16k2+16m>0,ïïxAB+x从而íxM==2k,ï2y=kx+m=2k2+m.îïMM1x21因为直线PM的方程为y=-x-x+y，所以0=-x-x+y．kMM4k0MMx21x2x即0=-x-2k+2k2+m．从而m=0+0-2k2-2．4k04k因为D=16k2+16m>0，æxöæxök-0k2+0k+2x2xç2÷ç2÷所以k2+0+0-2k2-2>0，即èøèø<0．4kkæxöæxö等价于020其中．kçk-÷çk+k+2÷<0(x0<0)è2øè2øx2xx①当0-8<0时，即xÎ-(42,0)时，有k2+0k+2>0，此时0