专题24利用向量的形解题【方法点拨】向量兼具“形”与“数”的双重属性，在解题中适时构造“形”，可以起到事倍功半的作用，可提高解题的迅捷度.【典型题示例】例1在中，点满足，且对任意，恒成立，则______.【答案】【分析】设，则点P在过点B且平行于AC的直线上，而恒成立的几何意义是：过点B且平行于AC的直线上的任意一点与点A的距离以最小，根据平面几何知识知，必有，即，进而可得、的值，结合余弦定理计算可得.【解析】根据题意，在中，点满足.设，则.∵∴对任意，恒成立，必有，即.∵∴，∴.∴故.例2若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______.【答案】【分析】注意到条件，构造如图所示等腰直角三角形，为底边上的中线.设，，则.在，.所以夹角的余弦值为.OCAB例3已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是.【答案】【解法一】展开得则的最大值是.【解法二】注意到题目中两个垂直，及，利用数形结合,如图,对应的点在圆上即可.例4设向量都是单位向量，，则的最小值是.【答案】【解析】如下图,设,，，则在圆上，且,取中点为，则由极化恒等式得易知，所以.例5已知向量，的夹角为135o，且，，设（其中），当取最小值时，向量与的夹角大小为.【答案】π2【解析】如上图，，，则满足条件的点C的轨迹是过且平行于的直线由平几知识知，当取最小值时，，即此时，向量与的夹角大小为π2.【巩固训练】1.已知向量，，，则_______．2.已知在△OAB中，OA＝，OB＝2，∠AOB＝135°，P为平面OAB上一点，且()，当OP最小时，向量与的夹角为．3.已知在△ABC中，AB＝5，AC＝10，，点P为△ABC内（包含边界）一点，且()，则的最小值为．4.已知向量，，满足，，则的最小值为________．5.已知平面向量α，β （α≠ 0，α≠β ）满足|β |=1，且α与β- α的夹角为120°，则|a| 的取值范围是.6.已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是___________.7.已知向量，，满足，，则的取值范围为．8.已知向量，满足，，设（其中），若最小值为，向量与的夹角大小为.9.（1）已知，若对任意，，则为_______三角形.（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）（2）已知，若对任意，，则为______三角形（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）（3）已知，若对任意，，则为______三角形（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）10.已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，|c|＝1，(a－c)·(b－c)＝0，则|a－b|的取值范围是．11.已知a，b都是非零向量，满足|a－b|＝|a|，(a－b)·a＝0，则a－b与b的夹角大小是（）．A．45oB．60oC．135oD．120o12.已知向量，，且对任意，恒成立，则（）A． B．C． D．【答案或提示】1.【答案】【解析】仿例2，构造三角形，易知，而使用投影易得，故．2.【答案】π2【提示】解法同例5.3.【答案】3【提示】如图，AD＝3，PD∥AC，易知的最小值为3．4.【答案】【提示】解法同例2.5.【答案】【解析】设，，由余弦定理可知：，要求的取值范围，则将方程视为以为主元的一元二次方程，由判别式可得.6.【答案】【提示】解法同例4.7.【答案】【提示】解法同例4.8.【答案】π6或5π6【提示】解法同例5.9.【答案】（1）直角（2）直角（3）钝角10.【答案】[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1]．【解析】如图，设c＝(1，0)，设A，B是以O为圆心，2为半径的圆上两点，且AC⊥BC，则|a－b|＝AB＝2MC.∵MO2＋MA2＝OA2，而MA＝MC，∴MO2＋MC2＝4.设M(x，y)，则x2＋y2＋(x－1)2＋y2＝4，即x2＋y2－x＝eq\f(3,2).(*)，|a－b|＝AB＝2MC＝2eq\r(（x－1）2＋y2)＝2eq\r(x2＋y2－2x＋1)＝2eq\r(\f(3,2)＋x－2x＋1)＝eq\r(10－4x).由(*)知，eq\f(1－\r(7),2)≤x≤eq\f(1＋\r(7),2)，∴eq\r(8－2\r(7))≤eq\r(10－4x)≤eq\r(8＋2\r(7))，即eq\r(7)－1≤eq\r(10－4x)≤eq\r(7)＋1.∴eq\r(7－1)≤|a－b|≤eq\r(7)＋1.即|a－b|的取值范围为[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1].11.【答案】C12.【答案】C【分析】由已知两边平方得，可判断A；再由得，结合可判断B；由可判断C；由可判断D.【解析】由得，即对任意恒成立，所以，，所以，所以A错误；由得，由，所以B错误；由，得，所以C正确；由，所以D错误.故选：C.