专题44有关圆幂定理型压轴题【方法点拨】1.相交弦定理：如下左图，圆O的两条弦AB、PC相交于圆内一点P，则.2.切割线定理:如下右图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则（）;3.割线定理：如下右图，PAB、PCD为圆O的割线，则.说明：上述三个定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理.【典型题示例】例1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆O：上的任意一点，过点作直线BT垂直于AP，垂足为T，则2PA+3PT的最小值是__________．【答案】【分析】从题中已知寻求PA、PT间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆幂定理.【解法一】由中线长公式可得，则，则在中，，即所以（当且仅当时取等）【解法二】∵BT⊥AP，∴点T的轨迹是圆，其方程是：x2+y2=1，过点P作该圆的切线PC，C为切点，则PC=，由切割线定理得：所以（当且仅当时取等）.点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向.例2在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C：x2＋(y－1)2＝5，A为⊙C与x负半轴的交点，过A作⊙C的弦AB，记线段AB的中点为M.若OA＝OM，则直线AB的斜率为________．【答案】2【分析】看到“弦的中点”想到作“弦心距”，得到CM⊥AB，故∠CMA+∠AOC=180o，所以A、O、C、M四点共圆，AC为直径.在该外接圆中，使用正弦定理求出sinA即可.【解析】连结C、M，则CM⊥AB，在四边形AOCM中，∠CMA+∠AOC=180o，故A、O、C、M四点共圆，且AC为直径.x2＋(y－1)2＝5中，令y=0，得x＝±2，A（－2，0），AC=5即为△AOM外接圆的直径，在△AOM中，由正弦定理得：OMsinA=5，而OA＝OM=2，所以sinA=25，所以tanA=2.故直线AB的斜率为2．例3在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为．【答案】y＝x－1【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得,两边平方求得的余弦值.【解法一】：易知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)．由eq\o(BM,\s\up14(→))＝2eq\o(MA,\s\up14(→))，设BM＝2t，MA＝t.如图，过原点O作OH⊥l于点H，则BH＝eq\f(3t,2).设OH＝d，在Rt△OBH中，d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3t,2)))2＝r2＝5.在Rt△OMH中，d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))2＝OM2＝1，解得d2＝eq\f(1,2)，则d2＝eq\f(k2,k2＋1)＝eq\f(1,2)，解得k＝1或k＝－1.因为点A在第一象限，eq\o(BM,\s\up14(→))＝2eq\o(MA,\s\up14(→))，由图知k＝1，所以所求的直线l的方程为y＝x－1.【解法二】由，设BM＝2t，MA＝t又过点M的直径被M分成两段长为、由相交弦定理得，解之得过原点O作OH⊥l于点H，在Rt△OBH中，d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3t,2)))2＝r2＝5，解得d2＝eq\f(1,2)，（下同解法一，略）.【解法三】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(BM,\s\up14(→))＝(1－x2，－y2)，eq\o(MA,\s\up14(→))＝(x1－1，y1)．因为eq\o(BM,\s\up14(→))＝2eq\o(MA,\s\up14(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2＝2x1－1，,－y2＝2y1.))当直线AB的斜率不存在时，eq\o(BM,\s\up14(→))＝eq\o(MA,\s\up14(→))，不符合题意．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＋y2＝5，))得(1＋k2)y2＋2ky－4k2＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(－2k,1＋k2)，,y1·y2＝\f(－4k2,1＋k2)，,－y2＝2y1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝\f(2k,1＋k2)，,y2＝\f(－4k,1＋k2)，))所以y1·y2＝eq\f(－8k2,1＋k22)＝eq\f(－4k2,1＋k2)，即k2＝1.又点A在第一象限，所以k＝1，即直线AB的方程为y＝x－1.【解法四】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(BM,\s\up14(→))＝(1－x2，－y2)，eq\o(MA,\s\up14(→))＝(x1－1，y1)．因为eq\o(BM,\s\up14(→))＝2eq\o(MA,\s\up14(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2＝2x1－1，,－y2＝2y1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＝2x1－3，,－y2＝2y1.))又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝5，,x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＝5，))代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝5，,2x1－32＋4y\o\al(2,1)＝5，))解得x1＝2，代入可得y1＝±1.又点A在第一象限，故A(2,1)，由点A和点M的坐标可得直线AB的方程为y＝x－1.点评：上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.【巩固训练】1.在平面直角坐标系中，是直线上的动点，以为圆心的圆，若圆截轴所得的弦长恒为4，过点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的最大值为.2.在平面直角坐标系xOy中，圆C：(m＞0)．已知过原点O且相互垂直的两条直线l1和l2，其中l1与圆C相交于A，B两点，l2与圆C相切于点D．若AB＝OD，则直线l1的斜率为．3.在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则．4.在平面直角坐标系xOy中，已知点在圆C：内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为．5.在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是．6.已知直线与圆相交于两点，点在直线上且，则的取值范围为.【答案与提示】1.【答案】2.【答案】【解析一】作CE⊥AB于点E，则，由OECD是矩形，知CE2＝OD2，∴，化简得，即cos∠OCD＝＝，tan∠COB＝tan∠OCD＝，∴直线l1的斜率为．【解析二】作CE⊥AB于点E，则OECD是矩形设OD＝t(t>0)，则由切割线定理OD2＝OA×OB得，即（※）又，将（※）代人得，即，∴直线l1的斜率为．3.【答案】:【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化.，即，整理化简得.过点作的垂线交于，则，得.又圆心到直线的距离，所以，.【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”.由，即得三点共线（其中是的中点），且，设，思路一：垂径定理后二次解三角形，，解之得.思路二：相交弦定理，，解之得.4.【答案】5.【答案】【提示】易知，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.6.【答案】