专题53数列奇偶项问题【方法点拨】定义在数列中，若任意，存在且，都有（为常数），则称数列是“隔项成等差”数列.类型1：由，两式相减得，这就得到“隔项成等差”数列，特别的，当时，数列为周期数列.类型2：由，两式相减得，这样，类型2就转化为类型1了，所不同的是不包含首项.类型3：对赋值，有，通过加减可得，从而，所以，这就得到“隔项成等差”数列.【典型题示例】例1数列满足，且．记数列的前项和为，则当取最大值时为 A．11 B．12 C．11或13 D．12或13【答案】【解析】设，由，可得，，，，，，，，可得，可得，则数列的奇数项为首项为，公差为1的等差数列；偶数项为首项为，公差为的等差数列，且每隔两项的和为9，7，5，3，1，，，为递减，可得，，，，，，则当取最大值时或13．例2设数列的前项和为，已知，则_______．【答案】－2【解析】由得，两式相减得，即，所以两式相减得，又将代入得，所以.例3数列满足，前16项和为540，则______________.【答案】【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.【解析】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列前项和为，，.点评：本题综合考查数列的递推公式的应用、数列的并项求和、分类讨论思想和数学计算能力.例4已知数列的前项和为，且，，则()A．200 B．210 C．400 D．410【答案】B【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前项和公式的应用求出结果．【解析】由题，，又因为所以当时，可解的当时，，与相减得当为奇数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，当为偶数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，所以当为正整数时，，则.故选B.【巩固训练】1.数列满足，则其前项和为________.2.已知数列的前项和为，，，则.3.设为数列的前n项和，则（1）_____；（2）．4.已知数列的前项和为，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是．5.各项均为正数的数列的前n项和为，且，则．6.设数列满足，数列前n项和是，对任意的，，若，当n是偶数时，的表达式是___________．7.若数列满足，且数列的前项的和总满足（其中为常数），则数列的通项公式是.8.若数列满足，且，若数列单调递增，则的取值范围为.9.已知数列的首项，且满足，则=________．【答案或提示】1.【答案】1830【解析】由，可得，，，，，，···，所以，，，，，，···，所以从第一项起，每四项的和构成以10为首项，16为公差的等差数列所以前项和为.2.【答案】【提示】奇偶项分别成等差数列.3.【答案】；【解法一】∵∴当时，两式相减得，即当是偶数时，，所以，即是奇数时，；当是奇数时，，，即当是偶数时，.∴.【解法二】∵∴当是偶数时，，，即当是奇数时，；当是奇数时，，，即当是偶数时，；.4.【答案】【解析】当时，当时，，所以当为偶数时，；当为奇数时，，即，.所以.当为偶数时，，当为奇数时，又因为恒成立，，所以.5.【答案】【解析】∵∴（）两式相减得，即又因为的各项均为正数，所以（）当时，由得，所以故是以为首项，公差为的等差数列∴.6.【答案】【解析】：，因为，所以，即，所以数列中所有的奇数项成等比数列，所有的偶数项成等比数列，所以当n是偶数时，的表达式是．7.【答案】8.【答案】9.【答案】512【分析】利用已知将n换为n+1，再写一个式子，与已知作比，得到数列的各个偶数项成等比，公比为2，再求得，最后利用等比数列的通项公式即可得出．【解析】∵anan+1=2n，（）∴an+1an+2=2n+2．（）∴,（），∴数列的各个奇数项成等比，公比为2，数列的各个偶数项成等比，公比为2，又∵anan+1=2n，（），∴a1a2=2,又，∴，可得：当n为偶数时，∴a20＝1•29＝512．故答案为512．