专题01单调性的几个等价命题【方法点拨】函数f(x)为定义域在上的增函数对任意，当时,都有；对任意，当时,都有函数f(x)－kx为上的增函数说明：含有地位同等的两个变量x1,x2或????,????等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.【典型题示例】例1（2022·江苏南通海安12月考·8）已知f(x)＝x2＋2ax－1，对任意x1、x2∈[1，＋∞)且x1＜x2，恒有x2f(x1)－x1f(x2)＜a(x1－x2)成立，则实数a的取值范围是（）A.(－∞，2] B.(－∞，3] C.(－∞，72] D.(0，72]【答案】A【分析】由已知条件可得函数g(x)=f(x)x+ax在[1,+∞)上单调递增，所以g'(x)=1+1x2−ax2=x2+1−ax2≥0在[1,+∞)上恒成立，从而可得a≤x2+1在[1,+∞)上恒成立，进而可求得答案【解析】由x2f(x1)−x1f(x2)x1>m≥0，故f(x)在(m，＋∞)上单调递减，又由f′(x)＝eq\f(－lnx,x2)，令f′(x)<0，解得x>1，故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故m≥1.4.【答案】B【解析】因为，不妨设，则可化为，即设则恒成立，即对任意的，且时恒成立，即对任意的，且时恒成立所以在R上单增故在R上恒成立所以，故所以实数的取值范围是，选B．5.【答案】B【解析】令，则，成立，则为单调增函数，若对任意的恒成立，则，即，即都有，令，则，∴，∴，故选B6.【答案】【解析】构造函数,则因为是定义在上的奇函数,故为定义域是的偶函数,又对任意两个不相等的正数都有,即,故在上为减函数.又,故.综上,为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.且.故即.根据函数性质解得，故答案为：.7.【答案】，【解析】设，则，，令，，在上单调递减，，，时，，．的取值范围是，．故答案为：，．8.【答案】C【分析】等价于，令，，分别求，的导数，判断函数的单调性，可求得有最大值，有最小值，根据题意，即求，代入为，等价于，令，即求的最大的正整数.对求导求单调性，可知单调递减，代入数值计算即可求出结果.【解析】由题干条件可知：等价于，令，，则，，当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值.令，，则，当时，此题无解，所以，则，当，当，所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值.若成立，只需，即，即，两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有，令，本题即求的最大的正整数.恒成立，则在上单调递减，，，，所以的最大正整数为9.故选：C.点评:本题考查构造函数法解决恒成立问题，双变元的恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转化为，只需.