专题11双变量方程类存在性、任意性问题【方法点拨】解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有：=1\*GB3①∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则；=2\*GB3②∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则.【典型题示例】例1已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（）A4B.C. D.【答案】A【解析】，则当时，；当时，，∴.，作函数的图象如图所示，当时，方程两根分别为和，则的最大值为.故选A.例2已知函数g(x)＝a－x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)≤x≤e，e为自然对数的底数))与h(x)＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________.【答案】 [1，e2－2]【解析】 函数g(x)＝a－x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)≤x≤e，e为自然对数的底数))与h(x)＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，等价于a－x2＝－2lnx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有解，即－a＝2lnx－x2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有解.设f(x)＝2lnx－x2，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))，则f′(x)＝eq\f(2（1＋x）（1－x）,x).∴f′(x)＝0在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有唯一的零点x＝1.故f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))上单调递增，在(1，e]上单调递减.∴f(x)max＝f(1)＝－1，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－2－eq\f(1,e2)，f(e)＝2－e2，知f(e)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e))).∴函数f(x)的值域为[2－e2，－1].故方程－a＝2lnx－x2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有解等价于2－e2≤－a≤－1，即1≤a≤e2－2，∴实数a的取值范围是[1，e2－2].例3已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】令，，.利用导数可求前者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数的取值范围.【解析】令，，.当时，，故在为增函数，故在上的值域为.又当时，，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数.令，因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，故对直线与函数的图象有且只要一个公共点，而，且在上为减函数，在上为增函数，故，所以，即.故答案为：.例4已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】当时，单调递减，；当时，成立，单调递增，，所以的值域为．设的值域为，因为存在，使得成立，所以．，．①，任意，成立，在单调递增，所以，，．因为，所以，；②，任意，成立，在单调递减，所以，，，则，不合题意；③，令，，在递减，递增，所以，，．又，，则，不合题意．综上所述，．点评：存在性和恒成立混合问题注意理解题意，等量关系转化为值域的关系.例5已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，且如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是______________．【答案】[－5，－2] 【分析】易得，，若对于，使得，只需的值域包含于的值域即可，即m－1≤－3且m＋8≥3，解得．【解析】x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1为增函数，值域为(0，3]，因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(x)在[－2，2]上的值域为[－3，3]，函数g(x)＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域为[m－1，m＋8]．因为对任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，所以f(x)在[－2，2]上的值域是g(x)＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域的子集，所以，解得即实数m的取值范围是[－5，－2]．点评：考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，转化为值域之间的关系.例6已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋2x－1,x2)，x≤－\f(1,2)，,log\f(1＋x,2)，x＞－\f(1,2)，))g(x)＝－x2－2x－2．若存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0，则实数b的取值范围是________．【答案】(－2,0)【解析】当x≤－eq\f(1,2)时，f(x)＝1＋eq\f(2x－1,x2)＜1，此时f(x)＝1＋eq\f(2x－1,x2)＝1＋eq\f(2,x)－eq\f(1,x2)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减，易求得f(x)∈[－7,1)；当x＞－eq\f(1,2)时，f(x)＝logeq\f(1＋x,2)，此时f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上单调递减，易求得f(x)∈(－∞，2)，∴f(x)的值域为(－∞，2)．故存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0⇒－g(b)＝f(a)∈(－∞，2)⇒b2＋2b＋2＜2⇒b∈(－2,0)．例7已知函数，若对任意，总存在，使，则实数a的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】对任意，则，即函数的值域为，若对任意，总存在，使，设函数的值域为A，则满足，即可，当时，函数为减函数，则此时，当时，，①当时，（红色曲线），即时，满足条件，②当时，此时，要使成立，则此时，此时满足（蓝色曲线），即，得，综上或，故选：C．例8若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为.【答案】【分析】对进行“完全分参”，两边同时除以、移项得，令，问题转化为存在正数，使得成立，再设，只需的值域.【解析】对两边同时除以、移项得，令，问题转化为存在正数，使得成立，设，只需的值域.猜根，往与的方向猜，可得再设，则故在区间单减所以在区间只有一个零点为且当时，故有当，，单增；当，，单减故当时，取得极大值也就是最大值为，无最小值故即为所求.【巩固训练】1.已知函数f(x)＝3x2＋2x－a2－2a，g(x)＝eq\f(19,6)x－eq\f(1,3)，若对任意x1∈[－1,1]，总存在x2∈[0,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是．2.已知函数f(x)＝2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，函数g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，若存在x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))及x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围．3.已知函数f(x)＝eq\s\do1(\f(1,2))x2＋x，g(x)＝ln(x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)＝eq\f(x2－x＋1,x－1)(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1，x≥2)．(1)若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为__________；(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为__________．5.已知函数，，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是。6.已知函数f(x)=，g(x)=−x2−2x−2，若存在a∈R，使得f(a)+g(b)=0，则实数b的取值范围是_______________.7.若，总使得成立，则实数的取值范围是.【答案或提示】1.【答案】[－2,0]【解析】f(x)＝3x2＋2x－a(a＋2)，则f′(x)＝6x＋2，由f′(x)＝0得x＝－eq\f(1,3).当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))时，f′(x)<0；当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))时，f′(x)>0，所以[f(x)]min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－a2－2a－eq\f(1,3).又由题意可知，f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，6))的子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤6，－a2－2a－\f(1,3)≥－\f(1,3)，f1≤6，))解得实数a的取值范围是[－2,0]．2.【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3)))【解析】由题意，易得函数f(x)的值域为[0,1]，g(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－2k，2－\f(3k,2)))，并且两个值域有公共部分．先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－eq\f(3,2)k<0，解得k<eq\f(1,2)或k>eq\f(4,3)，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3))).3.【答案】[－4,ln3]【解析】f(x)值域A=[0，4]，g(x)值域B=[－a，ln3－a]，由存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2)知：A∩B≠正难则反，先求出A∩B＝时，a的取值范围由A∩B＝得：4<－a或ln3－a<0，解之得：a＜－4或a＞ln3，故A∩B≠时，－4≤a≤ln3，所以a的取值范围是[－4,ln3].4.【答案】(1)[3，＋∞) (2)(1，eq\r(3)]【解析】(1)因为f(x)＝eq\f(x2－x＋1,x－1)＝x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．所以若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)． (2)因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≤3，a＞1，))解得a∈(1，eq\r(3)]．5.【答案】（－1,3）6.【答案】（－2,0）7.【答案】（－∞,1）