轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型【考点预测】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．x2y22、利用线段长度的大小建立不等关系．F,F为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的12a2b2x2y2任意一点，PF∈a-c,a+c；F,F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的112a2b2任一点，PF1≥c-a．x2y23、利用角度长度的大小建立不等关系．F,F为椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若12a2b2θ∠FPF=θ，则椭圆离心率e的取值范围为sin≤e<1．1224、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．【题型归纳目录】题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式题型二：圆锥曲线第一定义题型三：圆锥曲线第二定义题型四：圆锥曲线第三定义(斜率之积)题型五：利用数形结合求解题型六：利用正弦定理题型七：利用余弦定理题型八：内切圆问题题型九：椭圆与双曲线共焦点题型十：利用最大顶角θ题型十一：基本不等式题型十二：已知PF1⋅PF2范围题型十三：PF1=λPF2题型十四：中点弦题型十五：已知焦点三角形两底角题型十六：利用渐近线的斜率题型十七：坐标法题型十八：利用焦半径的取值范围题型十九：四心问题【典例例题】题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式x2y2例1.(2022·全国·高三专题练习)如图所示，已知双曲线C:-=1a>0,b>0的a2b2右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足∠AFB=120°，且BF=2AF，则双曲线C的离心率是________．x2y2例2.(2022·四川·高三阶段练习(理))已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F，F，过a2b212右焦点F2且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若AF1⊥AB，且AB=2AF1，则C的离心率为(    )A.2B.1+2C.3D.1+3x2y2例3.(2022·湖北·高三开学考试)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F，过F作直a2b2121线l与C的左、右两支分别交于M,N两点，且△MNF2是以∠MNF2为顶角的等腰直角三角形，若C的离心率为e，则e2=(    )A.5+33B.5+32C.5+22D.5+23y2例4.(2022·甘肃·瓜州一中高三期中(文))若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+=1的离心率是(    )m3335A.或5B.5C.D.或2222x2y2例5.(2022·江西·高三开学考试(文))设椭圆C:+=1a>b>0的左、右焦点分别为F，F，点M，N在a2b212C上(M位于第一象限)，且点M，N关于原点O对称，若MN=F1F2，22MF2=NF2，则C的离心率为(    )2162-332-3A.B.C.D.4277题型二：圆锥曲线第一定义x2y2例6.(2022·重庆八中高三开学考试(理))设椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点Aa2b2(-c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为()1111211A.,1B.,C.,D.,2322354x2y2例7.(2022·浙江·高三开学考试)已知F,F分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左､右焦点，过F的直线与12a2b21C交于P,Q两点，若PF1=2PF2=5F1Q，则C的离心率是(    )3355A.B.C.D.5443y2例8.(2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习)设双曲线C:x2-=1的左､右焦点分别为F，F，b212P是C上一点，且F1P⊥F2P，若△PF1F2的面积为4，则双曲线C的离心率为(    )A.2B.2C.3D.5x2y2例9.(2022·贵州贵阳·高三开学考试(理))已知双曲线C:-=1(a>0)的左焦点为F(-c,0)，点P在双a25曲线C的右支上，A(0,4)．若|PA|+|PF|的最小值是9，则双曲线C的离心率是_____．x2y2例10.(2022·全国·高三专题练习)已知F，F分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以FF12a2b2122为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设△PF1F2的面积为S，若PF1+PF2=12S，则双曲线C的离心率为(    )6A.2B.C.2D.222题型三：圆锥曲线第二定义例11.(2022·全国·高三专题练习(文))古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01时，轨迹为双曲线.则方程(x-4)2+y21=表示的圆锥曲线的离心率e等于(    )25-4x5145A.B.C.D.5554x2y2例12.(2022·北京石景山·高三专题练习)已知双曲线-=1(a,b>0)的左、右焦点分别为FF，P为左支a2b212上一点，P到左准线的距离为d，若d、|PF1|、|PF2|成等比数列，则其离心率的取值范围是(    )A.[2，+∞)B.(1，2]C.[1+2，+∞)D.(1，1+2]x2y2例13.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C:-=1a>0,b>0的右焦点为F，过F且斜率为3的a2b2直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为(    )5679A.B.C.D.8555x2y2例14.(2022·四川遂宁·二模(理))已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为4，过右焦点F作直线交a2b2该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若MN=10，则HF=(  )A.14B.16C.18D.20x2y2例15.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F且斜率为3a2b2的直线交C于A、B两点，若AF=5FB，则C的离心率为(    )458A.B.C.2D.335题型四：圆锥曲线第三定义(斜率之积)x2y2例16.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆C：+=1(a>b>0)，点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆a2b21上存在点P，使k⋅k∈-,0，则椭圆的离心率e的取值范围是______．APBP3x2y2例17.(2022·全国·高三专题练习)已知点A、B为椭圆E:+=1(a>b>0)的长轴顶点，P为椭圆上一a2b232点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为-,-，则椭圆E的离心率的取值范围是(    )4313321311A.,B.,C.,D.,23324343x2y2例18.(2022·全国·高三专题练习(理))椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关a2b21于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为，则C的离心率为(    )43211A.B.C.D.2223x2y2例19.(2022·湖南郴州·高二期末)双曲线C:-=1a,b>0的左右顶点为A,B，过原点的直线l与双曲a2b2线C交于M,N两点，若AM,AN的斜率满足kAM⋅kAN=2，则双曲线C的离心率为_________．x2y2例20.(2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试)已知双曲线-=1a>0,b>0的两个顶点分别为a2b2A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率为k1，k2，若k1⋅k2=8，则双曲线的离心率为(    )A.2B.3C.2D.3x2y2例21.(2022·全国·高二课时练习)已知A，B，P是双曲线-=1(a>0，b>0)上不同的三点，且点A，Ba2b24连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为(    )32621A.B.C.2D.223题型五：利用数形结合求解例22.(2022·广西·模拟预测(文))如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线x2y2镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左､右a2b2焦点分别为F1,F2，从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=12-，|BD|2=AD·BD，则双曲线E的离心率为(    )563721014A.B.C.D.5553例23.(2022·广西柳州·模拟预测(理))如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双x2y2曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：-=1(a>0,b>0)a2b2的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且3cos∠BAC=-，AB⊥BD，则E的离心率为(    )551710A.B.C.D.5232x2y2例24.(2022·四川·成都七中模拟预测(理))已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左，右焦点分别是F，a2b21PF1PF2F2，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线x=a上，且满足PH=λ+，λ∈R.PF1PF2若5HP+4HF2+3HF1=0，则双曲线C的离心率为(    )A.3B.4C.5D.6x2y2x2y2例25.(2022·全国·二模(理))已知双曲线C:-=1a>0,b>0与椭圆+=1．过椭圆上一点a2b2433P-1,作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的2中点，则双曲线C的离心率为(    )133A.B.13C.D.322x2y2例26.(2022·全国·模拟预测(文))已知双曲线C:-=1a>0,b>0的左、右焦点分别是F，F，过F的a2b2122直线l交双曲线C于P，Q两点且使得PF2=λF2Q0<λ<1．A21为左支上一点且满足FA+FP=0，FF=AF+AQ，12123232△AF2P的面积为b，则双曲线C的离心率为(    )3A.B.2310C.D.32x2y2例27.(2022·山东潍坊·三模)已知双曲线C:-=1a>0,b>0的左，右顶a2b2222点分别是A1，A2，圆x+y=a与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若△MPA2是等腰三角形，且∠PA2M的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为(    )A.2B.2C.3D.5x2y2例28.(2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测)已知F，F分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦12a2b23点，过F的直线l与双曲线C左、右支分别交于A，B两点，若|AB|=BF，△BFF的面积为b2，双曲12123线C的离心率为e，则e2=(    )A.3B.2C.2+3D.5+23题型六：利用正弦定理x2y2例29.(2022·全国·高三专题练习)已知F，F分别为椭圆E:+=1a>b>0的两个焦点，P是椭圆E12a2b2上的点，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，则椭圆E的离心率为(    )101055A.B.C.D.2424x2y2ππ例