微专题数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题【秒杀总结】1.数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.2.函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.3.证明数列an单调性的方法：根据an+1-an与0的关系判断出数列的单调性(当an恒为正或者负a时，可以考虑利用n+1与1的大小关系判断数列单调性).an4.当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021类似这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项正确.比如求S2021，可以令2021=n，将选项中的所有数字用n来表示，然后通过S1、S2来验证哪个选项正确.如果题目问的是S2020、S2018之类的偶数年份，最好是通过S2、S4这样的偶数项来验证.【典型例题】例1.(浙江省杭州市第二中学滨江校区2022-2023学年高三上学期期中数学试题)已知数列an满足an-2**an+1=e+1(n∈N，e为自然对数的底数)，且对任意的M>0都存在n∈N，使得an-2成立，则数列an的首项a1须满足()A.a1≤1B.1≤a1≤2C.a1≤2D.a1≥2n+1例2.(2023•新蔡县月考)数列{an}满足an+1+(-1)an=2n，则数列{an}的前60项和等于( )A.1830B.1820C.1810D.18001例3.(2023•江苏模拟)若单调递增数列{a}满足a+a+a=3n-6，且a=a，则a的取值范围nnn+1n+22211是 ．例4.(广东省实验中学2023届高三考前热身训练数学试题)已知Sn为数列an的前n项和，a1=a2=1，*平面内三个不共线的向量OA，OB，OC，满足OC=an-1+an+1OA+1-anOB，n≥2，n∈N，若A，B，C在同一直线上，则S2021=___________.例5.(江苏省苏州市吴中区木渎高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题)数列an中，an=13-a-n≥2,n∈N*，且a=1，记数列a的前n项和为S，若3λ⋅S+n≤4对任意的n∈2n-12nnnN*恒成立，则实数λ的最大值为__________.例6.(江西省临川二中、临川二中实验学校2023届高三第二次模拟考试文科数学试题)已知数列an的n+12前n项和为Sn=2an-2，若对一切正整数n，不等式2n-n-3<λ-2019an恒成立，则满足条件的最小整数λ为______.【过关测试】一、单选题nπ1.(2023·全国·高三专题练习)设数列a的通项公式为a=-1n2n-1⋅cos+1n∈N*，其前nn2n项和为Sn，则S120=(    )A.-60B.-120C.180D.2402.(2023·山东潍坊·高三统考期末)已知定义在R上的函数fx满足f0=1，对∀x，y∈R，有20231fxy+1=fxfy-fy-x+2，则=(    )i=1fifi+12023202420232023A.B.C.D.4050202540482024*3.(2023·全国·高三专题练习)设数列an的前n项和为Sn,a1=1，且2Sn=an+1-1n∈N.若对任意n的正整数n，都有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+⋯+anb1=3-n-1成立，则满足等式b1+b2+b3+⋯+bn=an的所有正整数n为(    )A.1或3B.2或3C.1或4D.2或4ab4.(2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测)已知数列a、b，a=n，b=n，nnn+12n+12++n∈N其中x为不大于x的最大整数.若a1=b1=m，m≤1000，m∈N，有且仅有4个不同的t，使得at≠bt，则m一共有(    )个不同的取值.A.120B.126C.210D.2522∗5.(2023·北京朝阳·高三统考期末)在数列an中，a1=1,an+1=kan+1n∈N，若存在常数c，对任意∗的n∈N，都有an49C.f(7,7)=49D.f(12,4)=499.(2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)已知等差数列an的前n项和为Sn，向量OP=SSSn,n，OP=m,m，OP=k,km,n,k∈N∗，且OP=λOP+μOP，则用n,m,k表示λ，则λn1m2k12=(    )m-kn-km-nn-mA.B.C.D.n-km-kk-nk-m二、多选题∗10.(2023·湖北·校联考模拟预测)数列an各项均为正数，其前n项和Sn，且满足an⋅Sn=9n∈N，下列四个结论中正确的是(    )A.an为等比数列B.an为递减数列1C.a中存在大于3的项D.a中存在小于的项nn202311111.(2023·全国·高三专题练习)若数列a满足a-a1，则数列an为“差半递增”数列C.若数列an为公差大于0的等差数列，则数列an为“差半递增”数列n+1D.若数列an为“差半递增”数列，其前n项和为Sn，且满足Sn=2an-2-t，则实数t的取值范围32为-,+∞312.(2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)以下为自然数从小到大依次排成的数阵：123456789101112131415⋯⋯第n行有2n-1个数，则(    )A．该数阵第n行第一个数为2n-1B．该数阵第n行最后一个数为2n-1C．该数阵前n行共有2n-1个数D．该数阵前n行所有数的和为22n-2n13.(2023·山东德州·高三统考期末)已知数列an的前n项和为 Sn，且a1=1，an+1+an=2n则(    )n,n为奇数A.S=18B.a=6nn-1,n为偶数2n-1C.数列a为等差数列D.n为奇数时，S=n+nn22∗14.(2023·湖南株洲·高三校联考期末)已知数列an满足a1=1，a1=1,an+1an+an+1=an(n∈N),数列an前n项和为Sn，则下列叙述正确的有(    )11A.a-a<0B.a100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______．nn-1n+1*21.(2023·全国·高三专题练习)已知数列{bn}满足bn=3+(-1)λ2，且对于任意的n∈N，都有bn+1>bn恒成立，则实数λ的取值范围______________．22.(2023春·河南开封·高三统考开学考试)现取长度为2的线段MN的中点M1，以MM1为直径作半圆，该半圆的面积为S1(图1)，再取线段M1N的中点M2，以M1M2为直径作半圆．所有半圆的面积之和为S2(图2)，再取线段M2N的中点M3，以M2M3为直径作半圆，所有半圆的面积之和为S3，以此类推，则niSi=______．i=123.(2023·山东日照·高三校联考期末)设正项等比数列a1,a2,⋅⋅⋅,a5的公比为q，首项a1=1，关于x的方程2akx+2x+ak=0有两个不相等的实根x1,x2，且存在唯一的akk=1,2,⋅⋅⋅,5，使得x1-x2<215．则公比q的取值范围为______．24.(2023·全国·高三专题练习)已知数列an满足