数列递推与通项公式22种归类目录一、热点题型归纳【题型一】归纳法求通项【题型二】等差等比定义型【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型【题型四】累加法拔高：换元累加型【题型五】累加法拔高：构造【题型六】累积法【题型七】前n项和型【题型八】二阶等比【题型九】二阶等差数列【题型十】sn与an型：消sn型【题型十一】sn与an型：消an型【题型十二】分式倒数递推【题型十三】新数列前n项和型【题型十四】高次幂取对数型【题型十五】二阶含n等比数列型【题型十六】二阶含n等差数列型【题型十七】因式分解型【题型十八】三阶递推【题型十九】前n项积求通项【题型二十】函数型递推【题型二十一】周期数列【题型二十二】奇偶讨论型二、真题再现三、模拟检测综述：数列求通项以及递推公式的方法和数学思想是学生学习数列思的比较好的切入点。数列大题第一问往往也考察递推公式为主的求通项。这也是第一轮复习的重点之一。一、热点题型归纳【题型一】归纳法求通项【典例分析】1.(2021·全国·高三课时练习)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.(1)           __________      1        6             11                   16              ()(2)            __________     1        4          7            10           ()(3)            __________         3            8             15              24              ()9272.(2021·江苏·高三专题练习)数列-1,1,-,,⋅⋅⋅的一个通项公式为________.57【提分秘籍】基本规律先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据an与项数n的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.一般这类题，选择题很少，因为可以代特殊值求解。【变式演练】1.(2021·全国·高三课时练习)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an=__________．2.(2018·全国·高三课时练习)若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是11A.a=[1+(-1)n-1]B.a=[1-cos(n·180∘)]n2n21C.a=sin2(n·90∘)D.a=(n-1)(n-2)+[1+(-1)n-1]nn23.(2018·上海市杨浦高级中学高三期末)已知数列1、0、1、0、⋯，可猜想此数列的通项公式是(    ).n-1*A.an=1+-1n∈N1B.a=1+-1nn∈N*n21C.a=1+-1n+1+n-1n-2n∈N*n21D.a=1-cosnπn∈N*n2【题型二】等差等比定义型【典例分析】1.(2022·全国·高三课时练习)在数列an中，a1=2，an+1=an+2，则数列an的通项公式为________．【提分秘籍】基本规律等差数列判定：①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an+1-an=定值；②等差中项法：即证2an+1=an+an+2；③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.等比数列的判定方法：an+1(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证=q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；an2*(2)等比中项法：即证an+1=an·an+2(anan+1an+2≠0，n∈N)⇔数列{an}是等比数列．【变式演练】1.(2022·河南·模拟预测(文))已知数列an是单调递增的等差数列，若它的前5项的和为105，第2项､第4项､第8项成等比数列，则它的通项公式为(    )7n27nn+1A.a=7n或a=21B.a=C.a=7nD.a=nnn2nn22.(2019北京·临川学校高三阶段练习(理))成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5，则数列bn的通项公式为()n-1n-1n-2n-2A.bn=2B.bn=3C.bn=2D.bn=3223.(2021·甘肃·静宁县第一中学高三阶段练习(文))数列an的各项都是正数，a1=2，an+1=an+2，那么此数列的通项公式为an=________．【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型【典例分析】1.(2022·全国·高三专题练习)已知Sn是等差数列an的前n项和，其中S3=6,S4=10，数列bn满足b1=1，且bn+an=bn+1，则数列bn的通项公式为(    )n2+2n2-n+2n2n2+n+2A.B.C.D.2222【提分秘籍】基本规律累加法：若在已知数列中相邻两项存在：an-an-1=f(n)(n≥2)的关系，可用“累加法”求通项.其中f(n)是常见可求和的数列通项，如等差，等比，和裂项型求和【变式演练】1.(2020·湖南·长郡中学三模(文))已知等比数列an满足8a4-a7=0，a1,a2+1,a3且成等差数列．若数列bn满足bn+1=an+bn(n∈N*)，且b1=1，则数列bn的通项公式bn=A.21-nB.2n-1C.2n+1D.22n+132.(2020·内蒙古·包头市第六中学高三期中)在数列{an}中,a=3,a=a+,则通项公式an1n+1nn(n+1)=______.【题型四】累加法拔高：换元累加型【典例分析】an+1an11.在数列a中，a=2，=+ln1+，则a=()n1n+1nnnA.a8B.2+n-1lnnC.1+n+lnnD.2n+nlnn全国Ⅰ卷2021届高三高考临考仿真冲刺卷数学(文)试题(四)【提分秘籍】基本规律通过换元，转化为an-an-1=f(n)(n≥2)累加求通项，最后再反解回去。【变式演练】*1.已知数列an满足：a1=13，(n+1)an+1-nan=2n+1，n∈N，则下列说法正确的是()A.an+1≥anB.an+1≤anC.数列an的最小项为a3和a4D.数列an的最大项为a3和a43nn2.已知数列a满足a=，a=a-.n12nn-1n-12n(1)求数列an的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，求满足Sn<12的所有正整数n的取值集合.【题型五】累加法拔高：构造【典例分析】11.已知数列a满足a=，n(n+1)a-a=aa，则数列a的通项公式a=____．n12n+1nn+1nnn人教A版(2019)选择性必修第二册过关斩将第四章数列专题强化练3数列的递推公式及通项公式【变式演练】*1.已知数列{an}满足nan+1-(n+1)an=1(n∈N),a3=2，则a2021=______.anan+12.已知数列a满足a=1,a-a=n∈N*，则na的最小值是()n1nn+1(n+1)(n+2)n23A.B.C.1D.254【题型六】累积法【典例分析】21.(2023·全国·高三专题练习)数列a满足：a=，2n+2-1a=2n+1-2an∈N*，则a的通n13n+1nn项公式为_____________.【提分秘籍】基本规律an对于递推公式为=fn，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为an-an-1=an-1fn，一般利用累加法求出数列的通项公式；【变式演练】n1.(2020·上海黄浦·高三期末)已知数列a(n∈N*)满足a=1，且a=a，则通项公式a=___n1n+1n+1nn_____.n2.(2020·广东·广州市天河外国语学校高三期中)若数列an满足a1=1,an+1=2an则数列an的通项公式an=____________.【题型七】前n项和型【典例分析】11.(2021·全国·高三专题练习(文))数列a的前n项和为S，若S=-n2-an，且a，a，a成等比数nnn2245列，则该数列的通项公式为(    )A.an=7-2nB.an=6n-1C.an=2n+3D.an=6-n【提分秘籍】基本规律若在已知数列中存在：Sn=f(an)或Sn=f(n)的关系，可以利用项和公式an=S1(n=1)，求数列的通项.Sn-Sn-1(n≥2)【变式演练】21.(2022·全国·高三专题练习)已知数列an的前n项和为Sn=n+4n-3，则an的通项公式为______n2.(2021·天津市红桥区教师发展中心高三期中)已知数列an的前n项和Sn=2-3，则数列an的通项公式是______.【题型八】二阶等比【典例分析】an-11.(2019·浙江·余姚中学高三阶段练习)已知数列an满足a1=1，an=(n≥2)，则通项公式an=2an-1+3_______.【提分秘籍】基本规律二阶等比构造法有两种方法：p1.形如a=qa+p(q≠0，1,p,q为常数),构造等比数列a+λ,λ=。特殊情况下，n+1nnq-1当q为2时，λ=p，anan-1q2.形如a=pa+qpq≠0，变形为=+pq≠0,p≠1，新数列累加法即可nn-1pnpn-1pn【变式演练】11.(2021·贵州·遵义市第五中学高三阶段练习)设数列a满足a=4，a=a+2，则a的通项公式n1n+13nnan=___________.*2.(2021·宁夏六盘山高级中学高三期中(理))已知数列{an}中，a1=1，an=3an-1+4(n∈N且n≥2)，，则数列{an}通项公式an为A.3n-1B.3n+1-8C.3n-2D.3n【题型九】二阶等差数列【典例分析】121.已知数列an,bn满足a1=1，an+1=1-，bn=，其中n∈N+．4an2an-1(1)求证：数列bn是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)略．【变式演练】2221.已知数列an有an≠0，Sn是它的前n项和，a1=3且Sn=3nan+Sn-1,n≥2．(1)求证：数列an+an+1为等差数列.(2)略.12.在数列{a}中，a=，2aa=a-a.n13n+1nnn+11(1)求a2，a3；(2)证明：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；an【题型十】sn与an型：消sn型【典例分析】91.(2022·云南·二模(文))已知数列a的前n项和为S.若a=,a=2S，则数列a的通项公式为nn12n+1nnan=___________.【提分秘籍】基本规律Sn与an的递推关系求an，常用思路是：利用an=Sn-Sn-1,n≥2转化为an的递推关系，再求其通S1,n=1项公式；an=时，一定要注意分n=1,n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两Sn-Sn-1,n≥2种情况能否整合在一起.【变式演练】2S1.(2021·江西赣州·一模(理))记S为数列a的前n项和．若a=1，a=n，则数列a的通项公nn1nn+1n式为______．2.(2022·全国·高三专题练习(文))已知数列an的前n项和为Sn，若a1=2，且Sn+1=2Sn+1，则数列an的通项公式为an=___________.【题型十一】sn与an型：消an型【典例分析】1.(2021·江苏·高三课时练习)已知数列an的前n项和为SnSn≠0，且满足an+4Sn-1Sn=0n≥2，a11=，则a的通项公式为_________．4n【提分秘籍】基本规律S1,n=1Sn与an的递推关系求an，也可以结合式子结构与数据，利用an=转化为Sn的递Sn-Sn-1,n≥2推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.应用关系式【变式演练】1.(2020·辽宁·高三阶段练习)已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1=1，且