双曲线必会十大基本题型讲与练02双曲线的焦点三角形问题典例分析一、焦点三角形面积问题1．已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】记，，根据双曲线定义结合余弦定理可得，再利用三角形面积公式可推得，即可求得答案.【详解】记，，，∵，∴，在中，由余弦定理得，配方得，即，∴，由任意三角形的面积公式得，∴，而，，。2．（多选题）已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（）A．点P到x轴的距离为 B．C．为钝角三角形 D．【答案】BC【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.【详解】由双曲线方程得，，则，由△的面积为20，得，得，即点到轴的距离为4，故错误，将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，则，由双曲线的定义知，则，则，故正确，在△中，，则，为钝角，则△为钝角三角形，故正确，，则错误，故正确的是，【点睛】本题主要考查与双曲线性质有关的命题的真假判断．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.3．已知是双曲线的两个焦点，P为双曲线C上的一点.若为直角三角形，则的面积等于______________.【答案】或9【分析】由双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上，然后分和两种情况求解即可【详解】由，得，则，所以，由双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上，若时，当时，，得，所以，所以的面积为，当时，则，因为，所以，所以，所以的面积为，综上所述，的面积为或9。二、焦点三角形周长问题1．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义求|AF2|＋|BF2|，由此可求△ABF2的周长.【详解】|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.故选：A.2．已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设双曲线的左焦点为，则，则由题意可得的周长为，当，，三点共线时，最小，从而可得答案【详解】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，∴，，，∴，的周长为．∵当，，三点共线时，最小，最小值为，∴的周长的最小值为．故选：A3．如图双曲线的焦点为，过左焦点倾斜角为的直线与交于两点．(1)求弦长的值；(2)求的周长．【答案】(1)3；(2)【分析】（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得，根据根与系数的关系可求得弦长；（2）根据双曲线的定义可求得三角形的周长.【解析】(1)因为双曲线的焦点为，所以，设．联立，整理得：，.(2)记的周长为，则．，又得．点在右支，故．同理：点在左支，．三、焦点三角形形状的判断与应用1．已知有相同焦点，的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上均有可能【答案】B【分析】分别利用椭圆和双曲线的定义，可求得，的表达式，根据有相同的焦点，可得c相等，可得m，n的关系，整理可得，即可得答案.【详解】根据椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，是左焦点，是右焦点，则由椭圆与双曲线的定义有：，可得，，即，因为两者有公共焦点，设半焦距为，则，，所以，所以，所以，即，是直角三角形．故选：B.2．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】不妨设点在第一象限，根据双曲线的定义得到，再由，得到，进而求得，结合面积公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得，则，因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，由双曲线的定义可得，又因为，可得，即，又由，可得，解得，所以的面积为.故选：C.3．已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（            ）A． B．C． D．【答案】D【分析】当时，得，要由，解得，故当时，即可得到答案.【详解】设的焦距为，离心率为．当时，由平面几何知识得，解得．∵，∴．根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是．4．已知，分别是双曲线的左右焦点，点B为C的左顶点，动点A在C上，当时，，且，则C的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据双曲线的定义求出，然后根据直角三角形建立方程求出，根据双曲线的系数关系即可求得方程.【详解】由题意得：，，又，，又，在直角三角形中，由勾股定理得，于是，解得：，故可知：（舍去）或，又由可知：，所以C的方程为。四、有关焦点三角形的内角问题1．设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（   ）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据给定方程求出焦距，再结合椭圆、双曲线定义建立与的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦距，由椭圆、双曲线定义得：，两式平方相加得：，于是有，所以的值为.2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于，若，则的渐近线方程为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线与圆相切及三角形的性质，结合双曲线的定义可得，进而得解.【详解】如图所示，设与圆相切于点，过作，故，，又，则，则，，由双曲线定义得，即，故渐近线方程为，3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】不妨设P是双曲线右支上一点，则则|PF1|－|PF2|＝2，|F1F2|＝2，再利用余弦定理得解.【详解】不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4.故选：B.4．在平面直角坐标系中，曲线的左，右焦点分别为，，点A是以线段为直径的圆与双曲线C在第一象限内的交点，过点A且与直线垂直的直线与x轴相交于点B，若，则双曲线C的离心率为（       ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据圆的性质、同角的余角相等，结合双曲线的定义、双曲线离心率公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】如图，设双曲线C的焦距为2c，由，，所以，可得，又由，可得，在中，，，又由双曲线的定义有，可得，可得，有。五、有关焦点三角形的内切圆问题1．（多选题）已知为双曲线（，）右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，是的内心，双曲线的离心率为，，，的面积分别为，，，且，下列结论正确的为（）A． B．C．在定直线上 D．若，则或【答案】BC【分析】设三角形内切圆半径为，根据，利用等面积法，可判断选项ABD，利用圆的切线长定理和双曲线的定义可判断选项C；【详解】如图所示：设三角形内切圆半径为，因为，则，，，所以，得，故A错误，B选项正确，D选项显然错误；C选项中，设圆与三边，，切点分别为，，，则，由双曲线定义有，从而.又，，所以，设，，（为双曲线的半焦距），所以，解得，即点在定直线上，所以C选项正确，2．（多选题）已知P是双曲线在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，的面积为．则以下结论正确的是（）A．点P的横坐标为B．C．的内切圆半径为1D．平分线所在的直线方程为【答案】BCD【分析】求得双曲线的，不妨设，，运用三角形的面积公式求得的坐标，运用两直线的夹角公式可得，由两点间距离公式求得周长，再利用三角形的面积公式和等面积法即可求出，由二倍角的正切公式可求出平分线所在的直线斜率，得出方程.【详解】双曲线中的，不妨设，，的面积为，，解得，由，可得，故A错误；由，且，则，则，即，故B正确；，则的周长为，设的内切圆半径为，则，即，解得，故C正确；设平分线所在的直线为，可得，解得，则平分线所在的直线的方程为，即，故D正确.故选：BCD.3．已知，分别是双曲线的左､右焦点，P为双曲线右支上除右顶点之外的一点.（1）若，求的面积（2）若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆的圆心轨迹方程.【答案】（1）面积为；（2）.【分析】（1）设，，由双曲线定义得，再由余弦定理得的关系式，两者结合可求得，从而可得三角形面积；（2）设内切圆与x轴的切点是点H，内切圆的圆心为点M，，与内切圆的切点分别为A，B，根据双曲线的定义可求得，再由椭圆的焦点坐标及双曲线过点求得，即可得轨迹方程．【详解】（1）设，，由双曲线的定义可得，由余弦定理得，，所以，的面积为.（2）如图所示，，，设内切圆与x轴的切点是点H，内切圆的圆心为点M，，与内切圆的切点分别为A，B，由双曲线的定义可得，即，又，，，所以，即.设点M的横坐标为x，则点H的横坐标为x，所以，即.因为双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，所以，，所以，，故内切圆的圆心轨迹方程为.【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，若为双曲线的右支上任一点，是双曲线的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的内切圆圆心是，则轴，若在左支，则轴．方法点拨双曲线定义的应用策略1、根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．2、将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2||＝2a(其中0＜2a＜|F1F2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题．3、利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．[提醒]利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：(1)距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；(2)2a＜|F1F2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．巩固练习1．在直角坐标系中，设为双曲线的右焦点，为双曲线的右支上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据为正三角形求出的坐标，代入双曲线方程，根据离心率公式化为关于的方程，可求出结果》【详解】不妨设在第一象限，因为为正三角形，，所以，又在双曲线上，所以，所以，所以，所以，所以，化简得，解得，所以.2．已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（       ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据双曲线的定义，结合点到直线的距离最短，求解即可.【详解】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则，连接与双曲线的另一个焦点，如下所示：由双曲线的定义可知，，又双曲线方程为，故，又点坐标为，双曲线的渐近线为，故点到渐近线的距离为，故.3．从双曲线的左焦点F引圆的切线交双曲线右支于P点，若M为线段PF的中点，O为坐标原点，则以PF为直径的圆与圆O的位置关系是（       ）A．相离 B．相交 C．内切 D．内含【答案】C【分析】如图所示，设是双曲线的右焦点，连接，则利用三角形中位线定理结合已知条件可得结论【详解】如图所示，设是双曲线的右焦点，连接，∵点M，O分别为线段PF，的中点，由三角形中位线定理得到：，即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段PF为直径的圆与圆的位置关系是相内切．4．设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列说法正确的是（）A．若为直角三角