“四大妙法”，剖析向量的秒杀体系目录一、重难点题型方法妙法一：奔驰定理与四心问题题型一：奔驰定理题型二：重心问题题型三：内心问题题型四：外心问题题型五：垂心问题妙法二：极化恒等式题型六：极化恒等式的应用妙法三：隐圆题型七：定点定长；定弦定角；对角互补；到两定点数量积(平方和)定值题型八：阿波罗尼斯圆妙法四：等和线题型九：等和线的应用二针对性巩固练习重难点题型方法妙法一：奔驰定理与四心问题题型一：奔驰定理【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC，则有SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题不正确的有(    )A.若OA+OB+OC=0，则O为△ABC的重心B.若OA+2OB+3OC=0，则SA:SB:SC=1:2:35π9C.若OA=OB=2,∠AOB=，2OA+3OB+4OC=0，则S△ABC=62D.若O为△ABC的垂心，则tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0例2.(2023·全国·高三专题练习)奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三S角形ABC内一点，且满足：OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA，则△AOB=(    )S△ABC2111A.B.C.D.5263【方法技巧总结】1.奔驰定理：SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于λ3:λ2:λ1【变式训练】1.(2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习)如图.P为△ABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为a,b,c，总有优美等式S△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有()A.若P是△ABC的重心，则有PA+PB+PC=0B.若aPA+bPB+cPC=0成立，则P是△ABC的内心21C.若AP=AB+AC，则S:S=2:555△ABP△ABCπD.若P是△ABC的外心，A=，PA=mPB+nPC，则m+n∈-2,142.(2023春·浙江嘉兴·高一校考阶段练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0.若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC.则()A.O为△ABC的外心B.∠BOC+A=πC.OA:OB:OC=cosA:cosB:cosCD.tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC=0题型二：重心问题【典例分析】π例1.(四川省达州市2023届高三二模数学(理科))如图，在△ABC中，AB=3，∠ABC=，BA⋅BC=418，平面ABC内的点D、E在直线AB两侧，△ABD与△BCE都是以B为直角顶点的等腰直角三角形，O1、O2分别是△ABD、△BCE的重心.则O1O2=(    )A.26B.33C.5D.6例2.(2023·全国·高三专题练习)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两11边交于M，N两点，设xAB=AM，yAC=AN，则+的值为(    )xyA.3B.4C.5D.6【方法技巧总结】1.O是△ABC的重心：S△BOC:S△COA:S△A0B=1:1:1⇔OA+OB+OC=0．【变式训练】1.(2022春·浙江·高二统考学业考试)在△ABC中，设AD=2DB，BE=2EC，CF=λFA，其中λ∈R.若△DEF和△ABC的重心重合，则λ=()13A.B.1C.D.2222.(2022春·四川攀枝花·高一攀枝花七中校考阶段练习)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,O为平ABAC面内任意一点，动点Р满足OP=OA+λ+,λ∈0,+∞则动点P的轨迹一ABsinBACsinC定经过△ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心题型三：内心问题【典例分析】例1.(2003·江苏·高考真题)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=ABACOA+λ+，λ∈[0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()|AB||AC|A.外心B.内心C.重心D.垂心3例2.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中，cosA=，O为△ABC的内心，若AO=xAB+4yACx,y∈R，则x+y的最大值为()26-67-78-22A.B.C.D.3567【方法技巧总结】1.O是△ABC的内心：S△B0C:S△COA:S△AOB=a:b:c⇔aOA+bOB+cOC=0．ABAC2.内心在向量+所在的直线上；AB⋅PC+BC⋅PC+CA⋅PB=0⇔P为△ABC的ABAC内心.【变式训练】1.(2022·全国·高三专题练习)平面上有△ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将△OAB，△OBC，△OCA的面积分别记作Sc，Sa，Sb，则有关系式Sa⋅OA+Sb⋅OB+Sc⋅OC=0．因图形和奔驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0，则O为△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心2.(2023·全国·高一专题练习)已知在△ABC中，AB=BC=3，AC=4，设O是△ABC的内心，若AOm=mAB+nAC，则=(    )n39416A.B.C.D.41639题型四：外心问题【典例分析】例1.(2023·全国·高一专题练习)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点POB+OCABAC满足OP=+λ+，λ∈(0，+∞)，则动点P的轨迹一定通过2ABcosBACcosC△ABC的()A.重心B.外心C.内心D.垂心2π例2.(2023·重庆·统考二模)已知点O是△ABC的外心，AB=6，BC=8，B=，若BO=xBA+3yBC，则3x+4y=()A.5B.6C.7D.8【方法技巧总结】1.O是△ABC的外心：S△B0C:S△COA:S△AOB=sin2A:sin2B:sin2C⇔sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.2.PA=PB=PC⇔P为△ABC的外心.【变式训练】π1.(2022·全国·高三专题练习)如图，△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=，O为△ABC外心，且3AO=mAB+nAC，则m+n的值为()211713A.B.C.D.3189182.(2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测)已知O是△ABC的外心，外接圆半径为2，且满足2AO3=AB+AC，若BA在BC上的投影向量为BC，则AO⋅BC=(    )4A.-4B.-2C.0D.2题型五：垂心问题【典例分析】22例1.(2020春·天津和平·高一耀华中学校考阶段练习)已知点O为△ABC所在平面内一点，且OA+BC=OB2+CA2=OC2+AB2，则O一定为△ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心例2.(2023·全国·高三专题练习)设O是△ABC所在平面上一点，点H是△ABC的垂心，满足OA+OB+OC=OH，且3⋅OA+OB+2⋅OC=0，则角A的大小是()3ππππA.B.C.D.4324【方法技巧总结】1.O是△ABC的垂心：S△B0C:S△COA:S△AOB=tanA:tanB:tanC⇔tanAOA+tanBOB+tanCOC=0．2.PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA⇔P为△ABC的垂心.【变式训练】1.(2023春·重庆南岸·高一重庆市辅仁中学校校考阶段练习)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面ABAC上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ+，λ∈0,+∞，则动点P的ABcosBACcosC轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.外心C.内心D.垂心122.(2023·全国·高三专题练习)已知H为△ABC的垂心，若AH=AB+AC，则sin∠BAC=(    )35151063A.B.C.D.5533妙法二：极化恒等式题型六：极化恒等式的应用【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)已知正方形ABCD的边长为2,MN是它的外接圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM⋅PN的取值范围是()A.-1,0B.0,2C.1,2D.-1,1例2.(2023春·江苏南京·高一校考期中)如图所示，矩形ABCD的边AB=2，AD=1，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧EB(含端点B､E)上的一点，则PA⋅PB的取值范围是()A.0,2-1B.1-2,0C.0,2-22D.2-22,0【方法技巧总结】1221.极化恒等式：a+b-a-b4122①平行四边形模式：a⋅b=AC-DB4几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1.4212②三角形模式：a⋅b=AM-DB(M为BD的中点)4【变式训练】1.(2021春·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习)半径为2的圆O上有三点A、B、C满足OA+AB+AC=0，点P是圆内一点，则PA⋅PO+PB⋅PC的取值范围为()A.[-4，14)B.[0，4)C.[4，14]D.[4，16]2.(2023·山东潍坊·校考模拟预测)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则PE⋅PF的取值范围是(    )A.28,46B.32,58C.39,55D.42,60妙法三：隐圆题型