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一网打尽外接球与内切球问题(解析版)
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一网打尽接球与内切球问题【命题规律】纵观近几年高考对于组合体的考查,与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显,要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主,大题很少见,此部分是重点也是一个难点,属于中等难度.【核心考点目录】核心考点一:正方体、长方体外接球核心考点二:正四面体外接球核心考点三:对棱相等的三棱锥外接球核心考点四:直棱柱外接球核心考点五:直棱锥外接球核心考点六:正棱锥与侧棱相等模型核心考点七:侧棱为外接球直径模型核心考点八:共斜边拼接模型核心考点九:垂面模型核心考点十:二面角模型核心考点十一:坐标法核心考点十二:圆锥圆柱圆台模型核心考点十三:锥体内切球核心考点十四:棱切球【真题回归】1.(2022·全国·高考真题(文))已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为(    )1132A.B.C.D.3232【答案】C【解析】[方法一]:【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为r,设四边形ABCD对角线夹角为α,111则S=⋅AC⋅BD⋅sinα≤⋅AC⋅BD≤⋅2r⋅2r=2r2ABCD222(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时,底面ABCD面积最大值为2r2又设四棱锥的高为h,则r2+h2=1,122222343V=⋅2r2⋅h=r2⋅r2⋅2h2≤r+r+2h=O-ABCD3333273当且仅当r2=2h2即h=时等号成立.3故选:C[方法二]:统一变量+基本不等式2由题意可知,当四棱锥为正四棱锥时,其体积最大,设底面边长为a,底面所在圆的半径为r,则r=a,22h=1-a所以该四棱锥的高2,2223a+a+1-a12422244343V=a21-a=a⋅a⋅1-a≤442=1=323442333327a2a24(当且仅当=1-,即a2=时,等号成立)423a223所以该四棱锥的体积最大时,其高h=1-=1-=.233故选:C.[方法三]:利用导数求最值2由题意可知,当四棱锥为正四棱锥时,其体积最大,设底面边长为a,底面所在圆的半径为r,则r=a,2223a12a212t2所以该四棱锥的高h=1-,V=a1-,令a=t(00,单调递增,0,当26生活、服务群众的生态公园体系,着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”.截至目前,贵阳市公园数量累计达到1025个.下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳,它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的,如果被截正方体的的棱长为202cm,则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________cm2.【答案】1600π【解析】设正方体的中心为O,E为棱的中点,连接A1D,B1C,A1C,B1D,则O为矩形A1DCB1的对角线的交点,11则OE=BC=×202×2=20,212同理,O到其余各棱的中点的距离也为20,故石凳所对应几何体的外接球的半径为20,其表面积为4π⋅202=1600πcm2,故答案为:1600π核心考点二:正四面体外接球【规律方法】2如图,设正四面体ABCD的的棱长为a,将其放入正方体中,则正方体的棱长为a,显然正四面体和正2236方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R=a⋅=a,即正四面体外接球半径为R=2246a.4【典型例题】例4.(2022·黑龙江·哈九中模拟预测(理))已知正四面体P-ABC外接球O表面积为54π,则该正四面体棱长为______;若M为平面ABC内一动点,且PM=42,则AM最小值为______.【答案】    6    23-22【解析】设该正四面体棱长为a,过点P作PD⊥面ABC,则点D为△ABC的重心,36则AD=a,PD=a,33又正四面体P-ABC外接球O表面积为54π,则4πR2=54π,36则R=,236即PO=AO=,2又AO2=AD2+OD2,362326362则=a+a-,2332解得:a=6;又M为平面ABC内一动点,且PM=42,则DM=PM2-PD2=32-24=22,即点M的轨迹为以D为圆心,22为半径的圆,又AD=23,则由点与圆的位置关系可得AM最小值为:23-22,故答案为:6;23-22.例5.(2022·江苏南京·高三开学考试)已知一个正四面体的棱长为2,则其外接球与以其一个顶点为球心,1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.30π【答案】3【解析】设外接球半径为r,外接球球心到底面的距离为h,2646则h+r=,r2=h2+,所以r=,332两球相交形成形成的图形为圆,1+6-644630如图,在△PDO中,cos∠DPO==,sin∠DPO=,662×1×6230在△PDO中,DO=PDsin∠DOP=,11630所以交线所在圆的半径为,63030π所以交线长度为2π⋅=.6330π故答案为:3例6.(2022·福建·福州三中模拟预测)表面积为83的正四面体的外接球的表面积为(    )A.43πB.12πC.8πD.46π【答案】B3【解析】设正四面体的棱长为a,则根据题意可得:a2×4=83,解得a=22;4该正四面体的外接球与棱长为2的正方体的外接球的半径相等,2又正方体的外接球半径为3,故该正四面体外接球的表面积S=4π×3=12π.故选:B.核心考点三:对棱相等的三棱锥外接球【规律方法】四面体ABCD中,AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体,可以通过构造长方体来解决这类问题.b2+c2=m2m2+n2+t2如图,设长方体的长、宽、高分别为a,b

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