一网打尽外接球与内切球问题【命题规律】纵观近几年高考对于组合体的考查,与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显,要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主,大题很少见,此部分是重点也是一个难点,属于中等难度.【核心考点目录】核心考点一:正方体、长方体外接球核心考点二:正四面体外接球核心考点三:对棱相等的三棱锥外接球核心考点四:直棱柱外接球核心考点五:直棱锥外接球核心考点六:正棱锥与侧棱相等模型核心考点七:侧棱为外接球直径模型核心考点八:共斜边拼接模型核心考点九:垂面模型核心考点十:二面角模型核心考点十一:坐标法核心考点十二:圆锥圆柱圆台模型核心考点十三:锥体内切球核心考点十四:棱切球【真题回归】1.(2022·全国·高考真题(文))已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为( )1132A.B.C.D.3232【答案】C【解析】[方法一]:【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为r,设四边形ABCD对角线夹角为α,111则S=⋅AC⋅BD⋅sinα≤⋅AC⋅BD≤⋅2r⋅2r=2r2ABCD222(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时,底面ABCD面积最大值为2r2又设四棱锥的高为h,则r2+h2=1,122222343V=⋅2r2⋅h=r2⋅r2⋅2h2≤r+r+2h=O-ABCD3333273当且仅当r2=2h2即h=时等号成立.3故选:C[方法二]:统一变量+基本不等式2由题意可知,当四棱锥为正四棱锥时,其体积最大,设底面边长为a,底面所在圆的半径为r,则r=a,22h=1-a所以该四棱锥的高2,2223a+a+1-a12422244343V=a21-a=a⋅a⋅1-a≤442=1=323442333327a2a24(当且仅当=1-,即a2=时,等号成立)423a223所以该四棱锥的体积最大时,其高h=1-=1-=.233故选:C.[方法三]:利用导数求最值2由题意可知,当四棱锥为正四棱锥时,其体积最大,设底面边长为a,底面所在圆的半径为r,则r=a,2223a12a212t2所以该四棱锥的高h=1-,V=a1-,令a=t(0
一网打尽外接球与内切球问题(解析版)
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