圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题一、考情分析圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.二、解题秘籍(一)解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法1.解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．2.存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．3.结构不良问题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；③具有多种解决方法、途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定．x2y21(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C:-=1经过a2b2点2,-3,两条渐近线的夹角为60°,直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2,是否存在x轴上的定点Mm,0,使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在,求实数m的值；若不存在,请说明理由.·1·x2y22(2023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考)已知双曲线C:-=1(b>a>0)的右焦点为a2b2Fc,0,从①虚轴长为23；②离心率为2；③双曲线C的两条渐近线夹角为60°中选取两个作为条件,求解下面的问题.(1)求C的方程；(2)过点F的直线l与双曲线C的左､右两支分别交于A,B两点,O为坐标原点,记△AOB,△FOB面积分S1别为S1,S2,若=3+1,求直线l的方程.S2(注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.)(二)是否存在型探索性问题求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.x2y23(2022届天津市南开中学2高三上学期检测)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为a2b225F、F,且F也是抛物线E：y=4x的焦点,P为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点,且PF=．12223(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=kx-1与椭圆C交于R,S两点,问是否在x轴上存在一点T,使得当k变动时,总有∠OTS=∠OTR？说明理由．·2·(三)探索直线是否过定点求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程y=kx+t,然后根据已知条件确定k,t的关系式,再判断直线是否过定点.x2y234(2022届北京市房山区高三上学期期末)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,A,B分别a2b22为椭圆E的上、下顶点,且AB=2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线l与椭圆E交于M,N(不与点A,B重合)两点,若直线AM与直线AN的斜率之和为2,判断直线l是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由.(四)探索结果是否为定值此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示,再结合韦达定理或已知条件进行化简,判断化简的结果是否为定值.x2y25(2022届云南省三校高三联考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)过点a2b2aa3A,,B2,．332(1)求椭圆E的方程；22(2)点Qx0,y0是单位圆x+y=1上的任意一点,设P,M,N是椭圆E上异于顶点的三点且满足OP=22x0OM+y0ON．探讨OM+ON是否为定值？若是定值,求出该定值,若不是定值,请说明理由．·3·y226届天津市耀华中学高三上学期月考已知为坐标原点双曲线x和(2022)O,C1:2-2=1a1>0,b1>0a1b1x2y223椭圆C:+=1a>b>0均过点T1,且以C的两个顶点和C的两个焦点为顶点的四边2222212a2b23形是面积为2的正方形．(1)求C1,C2的方程；(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|？证明你的结论；(3)椭圆C2的右顶点为Q,过椭圆C2右焦点的直线l1与C2交于M、N两点,M关于x轴的对称点为S,直S1线SN与x轴交于点P,△MOQ,△MPQ的面积分别为S1,S2,问是否为定值？若是,求出该定值；若不S2是,请说明理由．·4·(六)探索直线与圆锥曲线的位置关系探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断,探索直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.7已知定理：如果二次曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0与直线mx+ny+q=0(q≠0)有两个公共点P、Q,O是坐标原点,则OP⊥OQ的充要条件是(A+C)q2-(mD+nE)q+(m2+n2)F=0.(1)试根据上述定理,写出直线l:x+2y-3=0与圆C:x2+y2+x-6y+c=0相交于P,Q,坐标原点为O,且OP⊥OQ的充要条件,并求c的值；22xy2(2)若椭圆+=1与直线mx+ny+q=0相交两点P、Q,而且OP⊥QQ,试判断直线PQ与圆xa2b221+y=的位置关系,并说明理由.1+1a2b2·5·(七)探索类比问题此类问题多是椭圆与双曲线的类比x2y28设F1、F2分别为椭圆C:+=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点．a2b23(1)若椭圆C上的点A1,到F、F两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；212(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲x2y2线-=1写出具有类似特性的性质,并加以证明．a2b2·6·(八)不良结构问题近年不良结构问题,通常是要求学生从备选条件中选择部分条件解题,选择不同的条件,所用知识可能不同,难易程度也可能不同.9在①PF=x0+1,②y0=2x0=2,③PF⊥x轴时,PF=2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答．2问题：已知抛物线C:y=2pxp>0的焦点为F,点Px0,y0在抛物线C上,且．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A,B两点,求△ABF的面积．·7·三、跟踪检测1(2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测)已知动圆C经过点F1,0,且与直线x=-1相切,记动圆C圆心的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)已知P4,y0y0>0是曲线E上一点,A,B是曲线E上异于点P的两个动点,设直线PA､PB的倾斜3π角分别为α､β,且α+β=,请问：直线AB是否经过定点？若是,请求出该定点,若不是,请说明理由.42(2023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中)已知圆O：x2+y2=16,点A(6,0),点B为圆O上的动点,线段AB的中点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设T(2,0),过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点．(i)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点,求四边形EGFH面积的最大值；(ii)设曲线C与x轴交于P、Q两点,直线PE与直线QF相交于点N,试讨论点N是否在定直线上,若是,求出该直线方程；若不是,说明理由．·8·3(2023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中)己知双曲线C:x2-y2=1,过点T(t,0)作直线l和曲线C交于A,B两点.(1)求双曲线C的焦点和它的渐近线；(2)若t=0,点A在第一象限,AH⊥x轴,垂足为H,连结BH,求直线BH斜率的取值范围；(3)过点T作另一条直线m,m和曲线C交于E,F两点.问是否存在实数t,使得AB⋅EF=0和AB=EF同时成立.如果存在,求出满足条件的实数t的取值集合；如果不存在,请说明理由.4(2023届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考)设点P为圆C:x2+y2=4上的动点,过点P作x轴垂线,垂足为点Q,动点M满足2MQ=3PQ(点P、Q不重合)(1)求动点M的轨迹方程E；3(2)若过点T4,0的动直线与轨迹E交于A、B两点,定点N为1,,直线NA的斜率为k,直线NB的21斜率为k2,试判断k1+k2是否为定值．若是,求出该定值；若不是,请说明理由．·9·x2y25(2023届湖南省郴州市高三上学期教学质量监测)已知椭圆E:+=1a>b>0的离心率为a2b22,过坐标原点O的直线交椭圆E于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接2AC.当C为椭圆的右焦点时,△PAC的面积为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若B为AC的延长线与椭圆E的交点,试问：∠APB是否为定值,若是,求出这个定值；若不是,说明理由.26(2023届云南省部分重点中学高三上学期10月份月考)已知抛物线C：y=2pxp>0的焦点为F,点Dx0,2在抛物线C上,且DF=2．(1)求抛物线C的标准方程．(2)直线l：x=my+t与抛物线C交于A,B两点,点P-4,0,若∠APO=∠BPO(O为坐标原点),直线l是否恒过点M？若是,求出定点M的坐标；若不是,请说明理由．·10·7(2023届上海市高桥中学高三上学期9月月考)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,动点G到F1-3,0,F23,0的两点的距离之和为4．(1)试判断动点G的轨迹是什么曲线,并求其轨迹方程C．221(2)已知直线y=kx-3k>0与圆F:x-3+y=交于M、N两点,与曲线C交于P、Q两点,242其中M、P在第一象限,d为原点O到直线l的距离,是否存在实数k,使得T=NQ-MP⋅2d取得最大值,若存在,求出k和最大值；若不存在,说明理由．x2y268(2022届广东省潮州市高三上学期期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原a2b23点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x-2y+6=0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A,B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点,问：在x轴上是否存在定点E,使得EA2+EA⋅AB为定值？若存在,试求出点E的坐标和定值；若不存在,请说明理由．·11·9(2022届河北省深州市高三上学期期末)已知抛物线C:y2=4x,点F为C的焦点,过F的直线l交C于A,B两点．(1)设A,B在C的准线上的射影分别为P,Q,线段PQ的中点为R,证明：AR∥FQ；(2)在x轴上是否存在一点T,使得直线AT,BT的斜率之和为定值？若存在,求出点T的坐标；若不存在,请说明理由．2y2322210已知椭圆E:+x=1a>1的离心率为,圆A:x+y-a=rr>0与椭圆E相交于B,a22C两点.(1)求AB⋅AC的最小值；(2)若F1,F2分别是椭圆E的上、下焦点,经过点F1的直线l与椭圆E交于M,N两点,O为坐标原点,则△OF2N与△OF2M的面积之和是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及此时直线l的方程；若不存在,请说明理由.·12·x2