福建省福州第一中学2023届高三第一次调研测试数学一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．Ax|ylgx3Bxx21．已知集合，，则下列结论正确的是A．3AB．3BC．ABBD．ABBm23mm25m6i2．如果复数是纯虚数，则实数m的值为A．0B．2C．0或3D．2或33．若函数fx同时满足：(1)对于定义域内的任意x，有fxfx0fxfx120x,xxxxxfx；(2)对于定义域内的任意12，当12时，有12，则称函数123fxx为“理想函数”.给出下列四个函数：①fxx；②fxx；③xx2,x0fx2；④x,x0.其中是“理想函数”的序号是A．①②B．②③C．②④D．③④4．已知函数f(x)cos(x)(04,0)的部分图象如图所示，f(0)cos2，则下列判断正确的是A．函数f(x)的最小正周期为4B．函数f(x)的图象关于直线x61对称(1,0)C．函数f(x)的图象关于点4对称D．函数f(x)的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象5．设a､､bc都是正数，且4a6b9c，则下列结论错误的是（）121A．cbaB．abbcacC．4b9b4a9cD．cba6．如图，在四棱锥CABOD中，CO平面ABOD，AB//OD，OBOD，且AB2OD12，AD62，异面直线CD与AB所成角为30，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．21B．42C．48D．84πkπkπ7．已知sin23sin，且2，2，其中kZ，则tantan（）A．1B．2C．3D．48．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知a,bR，则下列不等式成立的是（）ababa2b2abA．2B．222ababa2b2abC．ab2D．210．在锐角三角形ABC中，A、B、C是其三内角，则下列一定成立的有（）A．sinABsinAsinBB．sinAcosBC．sinBcosAD．sinAsinB2cosC11．在ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，能确定C为锐角的有（）222A．ACCB0B．abcC．A、B均为锐角，且sinAcosBD．tanAtanBtanC0Saa2a812．设n是等差数列n的前n项和，且1，3则（）a12A．5B．公差d31nSn6n1aaC．2nD．数列nn1的前n项和为6n4三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分ABC-ABC13．如图，直三棱柱111，ABC60，AC2，侧棱长为3，点PACCAABBCB是侧面1内一点．当最大时，过B、1、P三点的截面面积的最小值为______．1,14．若函数y＝2sinωx在区间812上单调递减，则ω的取值范围是________.15．若直线yx1和曲线yalnx2相切，则实数a的值为_________.x1,x0f(x)logx,x0yff(x)116．已知函数2，则函数的零点个数是______个.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，根据下列条件，解三角形．（1）A＝60°，c＝2，a＝6；（2）a＝3，b＝2，B＝45°.218．已知函数fx2sinxcosx23cosx．（1）求函数yfx的最小正周期；（2）将函数yfx的图象右移6个单位得到ygx的图象，求函数ygx的单调递增区间．19．如图，要在一块矩形空地ABCD上开辟一个内接四边形EFGH为绿地，且点E､F､G､H都落在矩形的四条边(含顶点)上.已知ABa(a2)，BC2，且AEAHCFCG.设AEx，绿地EFGH的面积为y.（1）写出y关于x的函数关系式yf(x)，并写出这个函数的定义域；（2）记yf(x)的最大值为g(a)，求g(a)的表达式.ABCCABABBABBA60oABBA20．在多面体111中，四边形11为菱形，1，平面111BCBC11ABBC平面ABC，2，ACBC，1.BOC（1）若O是线段AB的中点，证明：平面ABC平面1；CACB（2）求二面角1的正弦值.{a},{b}a21a22a,21．已知各项均为正数的两个数列nn满足n1nn2alogblogb1,ab1.n2n2n1且11{a}（1）求证：数列n为等差数列；{b}（2）求数列n的通项公式；{a},{b}S,T,2Sa36T（3）设数列nn的前n项和分别为nn求使得等式：mmi*成立的有序数对(m,i)(m,iN).322．已知函数fxaxbx2在x2处取得极值-14.(1)求a，b的值；(2)求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；(3)求函数fx在3,3上的最值.参考答案：1．C试题分析：Ax|ylgx3x|x3，Bx|x2，故A选项错误，B选项错误，BA，所以ABB，故C选项正确，ABA，D选项错误，故选C.考点：1.函数的定义域；2.集合间的包含关系2．A由纯虚数的概念求得m值，注意虚部不能为0．根据纯虚数的概念可知:m23m0且m25m60，解m23m0，得m0或m3；当m0时，m25m66符合题意，当m3时，m25m60（舍），所以m0.故选：A.3．C由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．f(x)f(x)f(x)0解：函数同时满足①对于定义域上的任意x，恒有；f(x)f(x)120xxxxxxf(x)②对于定义域上的任意1，2，当12时，恒有12，则称函数为“理想函数”，“理想函数”既是奇函数，又是减函数，2①fxx是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；3②fxx是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；1fxx③x是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．x2,x0fx2④x,x0是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．故选C本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．4．C根据函数f(x)cos(x)(04，0)的部分图象，f(0)cos2，coscos2，2．再根据五点法作图可得120，2，f(x)cos(2x2)．2故它的周期为2，故A不对．令x61，2x2124，f(x)的值不是最值，故B不对．x12x2令4，2，f(x)的值为零，故函数f(x)的图象关于(1点4，0)对称，故C正确．把函数f(x)的图象向左平移2个单位，可得ycos(2x2)的图象，显然所得函数不是偶函数，故D错误，故选：C．故选C.5．B首先根据指对运算，利用对数表示a,b,c，再利用换底公式和对数运算，判断选项.111alog4kblog6kclog9kabclog4设469k1，所以k，logk6，logk9，0log4log6log9A.由对数函数的单调性可知，kkk，可知cba，故A正确；1111log3612log6backklog6log4log9log6log4log9log6log4log9B.kkkkkkkkk22aclog4log9kk，故B错误；24a9c6b36b49b4b9bC.，故C正确.112121logk4logk9logk362logk6D.acb，则cba，故D正确.故选：B6．D由题意可得OB6，CDO30，可得CO的长，结合OCOD,OCOB,ODOB可得三棱锥OBCD外接球半径R的值，可得其表面积.解：如图，过点D作DEAB，由AB//OD，OBOD，且AB2OD12，可得四边形DEBO为矩形，BEDO6，OBDEAD2AE26，由OD6，由于AB//OD，异面直线CD与AB所成角为30，CO平面ABOD，故CDO30，则COODtan3023，设三棱锥OBCD外接球半径为R，结合OCOD,OCOB,ODOB，可将以OC、OB、OD为相邻三条棱补成一个长方体，22222可得：2ROBOCOD844R，该球的表面积为：S4R284.故选：D.本题考查球与几何体的切、接问题，以及球的表面公式，转化为长方体的外接球是解题的关键.7．B将角度拆则分2，，利用两角和差的正弦公式展开整理后，结合商数关系即可得.解：∵sin23sinsin3sin∴sincoscossin3sincos3cossinπkπkπ整理得：2cossincossin，由于2，2，所以sin0，cos0cossintan22则cossin，即tan.故选：B.8．A试题分析：,函数的定义域为,,,由解得．因为函数在区间上单调递减,所以,解得．故选A．考点：函数的单调性．【方法点晴】本题考查函数的单调性以及给定的区间与单调区间的子集关系,属中档题目．求函数单调区间的方法是:（1）确定函数的定义域；（2）求导函数；（3）解不等式,所得的范围即为的单调递增区间；令所得的范围即为的单调递减区间．接下来利用,写出不等关系,注意等号的取舍,为本题的易错点．9．BD利用作差法与基本不等式，分别判断各不等式.ababA选项：由选项可知a与b同号，当a0且b0时，由基本不等式可知2ab0恒成立，当a<0且b0时，2，ab0时，该不等式不成立，故A选项错误；ab0B选项：当ab0时，2，则22222222ababab2ab2a2bab220abab2244恒成立，即22恒成立，当ab0时，原不等式恒成立，故B选项正确；222ababab2abab2ab02abC选项：当ab0时，22，即2，ab2222ababab2abab2ab02ab恒成立，当ab0时，22，即2，ab2，故C选项错误；a2b2abD选项：由重要不等式可知，a,bR，2恒成立，故D选项正确；故选：BD.10．BC【解析】由正弦定理可判断A；由AB90结合正弦函数的单调性、诱导公式可判断BC；由BC结论可判断D.对于A，在三角形中，两边之和大于第三边，则abc，由正弦定理得sinAsinBsinCsinAB，故A错误.AB90sinAsin90BcosB因为ABC是锐角三角形，所以所以B对，同理C对；对于D，由于sinAcosC，sinBcosCsinAsinB2cosC，所以D错.故选：BC.本题考查三角