高三年级暑期检测数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知函数，若，则的值为（）A． B．或2 C．或2 D．或3．函数在的图象大致为（）A． B． C． D．4．已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．已知函数的定义域为，则的定义域为（）A． B． C． D．6．命题“”为假命题，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知函数的定义城为，且满足，且当时，，则（）A． B． C．3 D．48．已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分．9．下面命题正确的是（）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“”是“”的必要不充分条件D．“且”是“”的必要不充分条件10．下列命题中正确的是（）A．的最小值是2B．当时，的最小值是3C．当时，的最大值是5D．若正数满足，则的最小值为311．已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则下列正确的是（）A． B．C．为奇函数 D．为偶函数三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数是偶函数，则实数______．13．集合，若，则实数的取值范围为______．14．记表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则______；若，则的最小值为______．四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）设集合．．（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．16．（本小题满分15分）随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表：使用智能辅导系统未使用智能辅导系统合计入学测试成绩优秀202040入学测试成绩不优秀402060合计6040100（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望．附：，其中．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63517．（本小题满分15分）定义域为的函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．18．（本小题满分17分）在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点，．（1）证明：；（2）求实数的值，使得平面与平面所成角的余弦值最大．19．（本题满分17分）已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若是的极小值点，求的取值范围．高三年级暑期检测数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分．9．【答案】BC10．【答案】BCD11．【答案】ACD【详解】A选项，的定义域为R，其图象关于中心对称，故，故，A正确；B选项，由题意得，又，故，令得，即，B错误；C选项，由题意得，即，令，则，所以为奇函数，C正确；D选项，因为，所以，即，故，令，则，故为偶函数，D正确．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】13．【答案】14．【答案】21【详解】当时，表示3个元素的有限集，由可知：或或或，故；由题，，由，即，解得或（舍去），由，故的最小值为21，四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．【详解】（1），当时；当时，由得：，即；综上，；（2）由题得，，所以，且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围为．16．【详解】（1），没有的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；（2）人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀，的取值可能为0、1、2，，分布列为：012．17．解：（1）是奇函数，，即，解得，又由知：，解得．此时，，即是奇函数．故．【或】是奇函数，，即恒成立．或当时，的定义域为，舍去，故．（2）由（1）知，则在上为减函数，又是奇函数，由得：，，即在上有解，当且仅当，即时等号成立，在上的最大值为，，即．18．【详解】（1）略；（2）如图分别以所在的直线为轴，不妨设，则，，设，则，解得，设平面的法向量为，则，所以，取，则，即，设平面的法向量为，则，取，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则，令，则，所以，因为，当且仅当，即时取等号，所以当时，即时，．19．【详解】（1）当时，，设，则，所以当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得极大值，所以，所以在上单调递减；（2），设，则，（ⅰ）当时，二次函数开口向上，对称轴为，当时，单调递增，因为，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点．当时，，又，所以存在，使得，所以当时，单调递增，又，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点；（ⅱ）当时，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点；（ⅲ）当时，开口向下，对称轴为，此时，故，使，当时，，因此在上单调递增，又，当时，单调递减，当时，单调递增，所以为的极小值点；（ⅳ）当时，，使，当时，，因此在上单调递减，又，当时，单调递增，当时，单调递减，所以为的极大值点；（ⅴ）当时，由（1）知非极小值点．综上所述，．