树德中学高2022级高三开学数学考试试题参考答案1.A2.B3.B4.C5.A6.C7.C8.D9.ACD10.BC11.ACDx1x2x2e-x1ex1x28．【详解】因为x1ax1-x2，x1-x2x1x2x1x2eaea整理得x2e+ax2>x1e+ax1，因为x1x2>0，所以+>+，x1x1x2x2exa令fx=+，则函数fx在-1,0上单调递减，xxxex-1-ax则fx=≤0在-1,0上恒成立，所以ex-1≤a在-1,0上恒成立，x2xxxx令gx=ex-1，则gx=ex-1+e=xe<0在-1,0上恒成立，x2则gx=ex-1在-1,0上单调递减，所以gx≤g-1=-，e22故a≥-，所以a得最小值为-.ee2222211．【详解】由双纽线的定义可得：PF1⋅PF2=x+a+y⋅x-a+y=a，22224222222即x+a+y⋅x-a+y=a，化简得：x+y=2ax-y，22222当a=1时，点P的轨迹方程为x+y=2x-y，令y=0，解得x=±2或x=0，所以AB=22，故A正确；因为F1-a,0，F2a,0，若满足PF1=PF2，则点P在y轴上，22222在方程中x+y=2x-y令x=0，解得y=0，所以满足PF1=PF2的点P为P0,0，只有一个，故B错误；111S=PFPFsin∠FPF=sin∠FPF≤，故C正确；△F1PF2212122122因为，C△PF1F2=PF1+PF2+F1F2=2+PF1+PF2又，且，所以，PF1PF2=1PF1+PF2>F1F2=2C△PF1F2=2+PF1+PF2>4接下来先证明PO≤2a：222在△F1PF2中，由余弦定理可得F1F2=PF1+PF2-2PF1⋅PF2⋅cos∠F1PF2，2222所以PF1+PF2=4a+2acos∠F1PF2.22又因为2PO=PF1+PF2，所以2PO=PF1+PF22222=PF1+PF2+2PF1⋅PF2=PF1+PF2+2PF1⋅PF2cos∠F1PF2.222222所以2PO+F1F2=PF1+PF2+2PF1⋅PF2cos∠F1PF2+PF1+PF2-2PF1⋅222222PF2⋅cos∠F1PF2=2PF1+PF2，即4PO+4a=2×4a+2acos∠F1PF2，2222整理可得|PO|=a+acos∠F1PF2≤2a，所以PO≤2a；所以PO≤2，如图以PF1、PF2为邻边作平行四边形PF1GF2，则GF1=PF2，所以PF1+PF2=PF1+GF1<PG=2PO≤22，所以，C△PF1F2=2+PF1+PF2<2+22即△PF1F2的周长的取值范围为4,2+22，故D正确.4012．16-13．4,+∞14．2+224133314.【详解】因为fx=x-x，所以fa=a-a，fb=b-b，3333又fa+fb=-2b，所以a-a+b-b=-2b，即a+b=a-b，3333a+b因为a>0，b>0，所以a+b>0，所以a>b>0，所以=1，a-ba23332221+2222a+b2b+abb+ab又a+λb≤1，即a+λb≤，所以λb≤，所以λ≤=，a-ba-bab-b2ab-1a222a1+b1+tt-1+22令t=，则t>1，所以===t+1+bat-1t-1t-1b-122=t-1++2≥2t-1⋅+2=2+22，t-1t-12当且仅当t-1=，即t=2+1时取等号，t-122所以b+a，所以，则实数的最大值为2=22+1λ≤2+22λ2+22.ab-bmin15.(1)a<2时，不等式的解集为{x∣-12时，不等式的解集为{x∣1-a3.84150×50×70×3021因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系(3)依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在1~100名和101~1000名的分别有2人和4人，从6人中任意抽取2人的基本事件共15个至少有1人来自于1~100名93的基本事件有9个，所以至少有1人的年级名次在1~100名的概率为P==.15517．(1)∵BA=BC，且M是AC的中点，则BM⊥AC.∵CF⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴CF⊥BM.又CF∩AC=C,CF,AC⊂平面ACFD，∴BM⊥平面ACFD，因为DC⊂平面ACFD，∴DC⊥BM.①CFMCπ∵=,∠CFD=∠MCP=，∴△CFD∽△MCP，则∠PMC=∠FCD.DFCP2ππ∵∠ACD+∠FCD=，∴∠PMC+∠ACD=，∴在平面ACFD中DC⊥PM.②22∵BM∩PM=M,BM,PM⊂平面PBM，∴由①②知DC⊥平面PBM.(2)由题意得DM⎳CF，CF⊥平面ABC，∴DM⊥平面ABC.由(1)可知BM⊥AC，故M为坐标原点.如图，以MB，MC，MD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.CFDF2 ∵==λ，CP=1∴CM=DF=λ，DM=CF=λ.DFCP2∴M0,0,0，Bλ,0,0，C0,λ,0，D0,0,λ.∵AC=2DF，λλ2∴由棱台的性质得BC=2EF,BC=-λ,λ,0，∴ME=,,λ.222由(1)可知平面PBM的一个法向量为CD，且CD=0,-λ,λ.6∵直线BC与平面PBM的所成角的正弦值为，6BC⋅CD6∴cosBC,CD==(λ>0)，BC⋅CD62-λ6即=，解得λ=2.λ2⋅λλ2+16∴平面PBM的一个法向量为CD，且CD=0,-2,2.平面EFM的法向量为n=x,y,z.22∵ME=,,2，MF=0,2,2，2222n⋅ME=x+y+2z=0y=-2z22，即，当时，，z=-1x=2y=2.n⋅MF=2y+2z=0x=-2zn⋅CD平面的一个法向量为2+2230∴MEFn=2,2,-1.cosn,CD===.nCD6×515230∴平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值.1518．(1)解：设F1F2=2c，因为△BF1F2与△ABF2的周长之差为2，所以BF1+F1F2-AB-AF2=2，即2c-2a=2，x2y2又因为F1,F2分别为双曲线C2:-=1的左、右顶点，所以c=2a，4a24b2c-a=1联立方程组，解得a=1,c=2，所以b2=c2-a2=1，c=2ay2故双曲线C的方程为x2-=1.13x2y2(2)解：①由(1)知，双曲线C的方程为-=1,F-2,0,F2,0，241212x2y2设M(x,y)，则0-0=1，可得y2=3(x2-4)，0041200yyy2则000k1⋅k2=⋅=2=3.x0+2x0-2x0-4②DE-AB为定值4.理由如下：由(1)得直线AB的方程为y=k1x+2，y=k1x+222222联立方程组2y，整理得3-k1x-4k1x-4k1-3=0，x-3=14k2-4k2-3设，则11，Ax1,y1,Bx2,y2x1+x2=2,x1x2=23-k13-k1-4k2-3因为位于双曲线的左、右两支，所以1，即2，A,Bx1x2=2<0k1<33-k12361+k2261+k可得2211，AB=1+k1x1+x2-4x1x2=22=23-k13-k13又因为k1⋅k2=3，所以直线DE的方程为y=x-2，k13261+2k129+k1根据双曲线的对称性，同理可得DE==，3223-3-k1k12229+k61+k所以11，故为定值DE-AB=2-2=4DE-AB4.3-k13-k13219．(1)证明：因为方程ax+bx+cx+d=0a≠0有三个根x1,x2,x3，32所以方程ax+bx+cx+d=0a≠0即为ax-x1x-x2x-x3=0，32变形为ax-ax1+x2+x3x+ax1x2+x2x3+x3x1x-ax1x2x3=0，x+x+x=-b123ac比较两个方程可得x1x2+x2x3+x3x1=a.dx1x2x3=-a(2)(i)证明：∵fx有两个零点，x1≠0,∴fx=0有一个二重根x1，一个一重根x2，且x2≠0,b2x1+x2=-a2121由(1)可得x+2xx=，由x+2xx=<0可得xx<0.112a112a1221x1x2=-a21由x⋅x=->0可得x>0，∴x<00,x1<0∴x1>-2，综上-20，当t<-时，gt>0，2111∴gt在-∞,-上单调递增，∴gt