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广东省华南师范大学附属中学2024-2024学年高三上学期综合测试(一)数学试题答案
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2025届高三综合测试(一)数学参考答案一、选择题12345678BADDAACC91011ABCBCDBCD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.8.13.4051.14.10f′()exxx−efx()fx()8.【详解】因为f′()x=e(2xx−+2)fx(),所以=2x−=2[]′,ee2xxfx()从而=−+x22xc,即fx()=e(xx2−+2xc),其中c为常数,ex又fc(0)=1=,故fx()=ex(x2−+2x1),则f′(x)e=x()x2−1,当x∈(−∞,1−)时,fx′()>0,fx()为增函数;当x∈−(1,1)时,fx′()<0,fx()为减函数;当x∈(1,+∞)时,fx′()>0,fx()为增函数,4所以当f(1)<,当0<时gx′>()0,当exa<<时gx′<()0,则gx()在(0,e)和(,a+∞)上单调递增,在(,ea)上单调递减,若0<时gx′>()0,当axe<<时gx′<()0,则gx()在(0,a)和(,e+∞)上单调递增,在(,)ae上单调递减,故g(e)=0或g(a)=0时,函数gx()才可能有两个零点,又g(a)=ln2a−≠b0,故g(e)=0,此时显然有两条切线,2a13所以ge()=−−1b=0,即2a=eb(+1),当b=时,a=ee<,故A错误,B正确;e24由上述分析,,,当时,,在和上单调递增,ex∈{1x2}ae>x1=ea0xx22所以,当时,,fx()2>b0<gx()在(0,a)和(,e+∞)上单调递增,在(,)ae上单调递减,示意图如图.显然2,由,得x12<===a,f(x)f()elne12a=eb(+1)2a22aeb=−1,所以b=−<1−=11,即fx()>b,eee2综上,,故选项和正确.故选:.x12<>af()xbCDBCD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.【解答】解:由a表示数学课,b表示语文课,c表示英语课,按上午的第1、2、3、4、5节课排列,可得若A班排课为aabbc,则B班排课为bbcaa,若A班排课为bbaac,则B班排课为aacbb,若A班排课为aacbb,则B班排课为bbaac,或B班排课为cbbaa,若A班排课为bbcaa,则B班排课为aabbc,或B班排课为caabb,若A班排课为cbbaa,则B班排课为aacbb,若A班排课为caabb,则B班排课为bbcaa,则共有8种不同的排课方式.故答案为:8.13.【解答】解:根据题意,因为函数y=fx(+−2)1为定义在R上的奇函数,第2页(共8页){#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}所以函数fx()的图象关于(2,1)中心对称,则有fx()+f(4−=x)2,且f(2)=1,故fi(−2024)=[f(−2023)+f(2027)]+[f(−2022)+f(2026)]+…+[f(1)+f(3)]+f(2)=2025×+=214051.故答案为:4051..解:固定每个,考察路灯14n∈{1,2,,100}Ln.根据题意,被第名行人改变开关状态,当且仅当为的正约数(注意的正约数都不超过,故Lnkknn100每个正约数均可对应到某一名行人)所以最终为开,当且仅当的正约数个数为奇数以下证明这等价.Lnn.nn于n为平方数.事实上,n的每个正约数d均可对应到正约数d′=,其中,d对应到自身当且仅当d=,dd即dn=.这意味着,n的正约数个数为奇数当且仅当n是n的正约数,即n为平方数.因此,当所有行人都经过后,恰好那些下标为平方数1,4,9,,100的路灯是开着的,所以共有10个路灯处于开着状态.四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解答】解:(1)因为2cBsin=2b,由正弦定理可得2sinCBsin=2sinB,···············1分在∆ABC中,sinB>0,···············2分2可得sinC=,而C∈(0,π),···············3分2π3π可得C=或C=;···············5分(少一个解扣一分)44(2)因为tanABC=tan+tan,由恒等式tanA++tanBtanC=⋅⋅tanABCtantan,得2tanA=tanABCtantan,得tanBCtan=2,···············7分所以只可能是tanC=1,tanB=2,···············8分此时tanA=3,···············9分31025所以sinA=,sinB=,···············11分(每求对一个给1分)10525×2sinBa⋅451042所以b==5=×=,···············12分sinA3105310310114224所以S=absinC=××2⋅=.···············13分∆ABC22323(注:分类讨论代入C,然后消元求解,自行给评分标准即可)第3页(共8页){#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}116.【解答】(1)证明:连接EC交BD于N,由E是AD的中点可得DE=BC=1,21则∆DEN与∆BCN相似,所以EN=NC,···············1分21又PM=MC,···············2分2PMEN∴=···············3分MCNC∴MN//PE,···············4分又MN⊂平面BDM,PE⊂/平面BDM···············5分∴PE//平面BDM;···············6分(2)解:如图,建立空间直角坐标系,E(0,0,0),A(1,0,0),D(1−,0,0),B(1,2,0),C(1−,2,0),P(0,0,2),···············7分1122PC=−−(1,2,2),PM=PC=−−(,,),3333124则M(−,,),···············8分333设平面的法向量为,AMBn1=(,xyz111,)424由AB=(0,2,0),AM=(−,,),333=20y1AB⋅=n10则,即424,···············9分AM⋅=n0−+xyz111+=01333取,可得,···············分x1=1n1=(1,0,1)10由()可取平面的法向量为,···············分1BDMn2=(1,−1,0)12||nn⋅所以,121,···············分(公式给分,|cos=|=141|nn12|||2代入求解给1分)1即平面AMB与平面BDM的夹角余弦值为,2π所以平面AMB与平面BDM的夹角为.···············15分317.【解答】解:(1)补全列联表如下:第4页(共8页){#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}性别速度合计快慢男生6535100女生4555100合计11090200200(65×−×553545)2800则K2==≈>8.086.635,···············4分100×××1001109099(第一个等号2分,第二个等号1分,判断大于1分)所以有99%的把握,认为学生性别与绳子打结速度快慢有关;···············5分(2)()i易知X的所有可能取值为1,2,3,CC118此时==42=,···············分PX(1)2226CCC642153A32C12==3=,···············分PX(2)2227CCC64253A311===,···············分PX(3)2228CCC642153A3则X的分布列为:X123861P151515···············9分86123所以EX()1=×+×+×=23;···············10分15151515()ii证明:不妨令绳头编号为1,2,3,4,…,2n,可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1,2外还有22n−种可能,假设绳头1与绳头3打结,那么相当于对剩下n−1根绳子进行打结,不妨设*根绳子打结后可成圆的种数为,nn()∈Nan那么经过一次打结后,剩下根绳子打结后可成圆的种数为,···············分n−1an−111第5页(共8页){#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}所以,,···············分ann=(2na−2)−1n≥212a即n=22n−,an−1an−1=24n−,an−2,…,a2=2,a1a以上各式累乘得n=(2nn−2)(2−4)…=22n−1(n−1)!,a1易知,a1=1所以n−1,···············分ann=2⋅−(1)!13另一方面,对2n个绳头进行任意2个绳头打结,CC22…C22nn(2−1)(2n−2)…×21(2n)!总共有N=2nn22−2==,···············14分n!2!nnnn2!a2nn−−1⋅−(n1)!221⋅nn!(−1)!则P=n==.···············15分Nn(2n)!(2)!2!n⋅n.【解答】解:()设上任意一点,,,光线从点至点的光程为,181CTx(0y0)x0<0N(2,0)δ1光线穿过凸透镜后从点折射到点的光程为,T(2,0)δ2则22,···············分δ1=×+=1345122

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