2025届高三综合测试（一）数学满分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是()A．1B．2C．4D．82．直线l过抛物线Cx:42=−y的焦点，且在x轴与y轴上的截距相同，则l的方程是()A．yx=−−1B．yx=−+1C．yx=−1D．yx=+13．已知x>0，y>0，则()A．7lnx+lny=77lnx+lnyB．7ln()x+y=77lnx⋅lnyC．7lnx⋅lny=77lnx+lnyD．7ln()xy=77lnx⋅lny14．函数f()x=aln|x|+的图象不可能是()xA．B．C．D．5．已知a，b，c满足23a=，bln2=1，32c=，则（）A．abc>>B．acb>>C．bca>>D．bac>>6．若正数x，y满足x2−2xy+=20，则xy+的最小值是()6A．6B．C．22D．227．已知a>1，b>1．设甲：aeba=be，乙：abba=，则()A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充分条件但不是必要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件数学综合测试（一）试题第1页（共4页）{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}．已知正实数，，满足22xx122x3，则，，的8x1x2x3x11+2x+=1xx122,+3x2+=1xx233,+4x3+=1x34x1x2x3大小关系是()．．．．Axxx213<0)恰能作两条C的切线，切点分别为(x11,fx())，(x22,fx())，()xx12<，则()．．．．Aae>B2a=eb(+1)Cxa1b三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）某中学的A、B两个班级有相同的语文、数学、英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有种不同的排课方式．（用数字作答）405113．（5分）已知函数y=fx(+−2)1为定义在R上的奇函数，则∑fi(−=2024)．i=1．一段路上有个路灯，，，，一开始它们都是关着的，有名行人先后经过这段路，14100L1L2L100100对每个，当第名行人经过时，他将所有下标为的倍数的路灯，，的开关k∈{1,2,3,,100}kkLkL2k状态改变.问当第100名行人经过后，有个路灯处于开着的状态。四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）记∆ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cBsin=2b．（1）求C；（2）若tanABC=tan+tan，a=2，求∆ABC的面积．数学综合测试（一）试题第2页（共4页）{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}16．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=5，点E是线段AD的中点，CM=2MP．（1）证明：PE//平面BDM；（2）求平面AMB与平面BDM的夹角．17．HSFZ在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：性别速度合计快慢男生65女生55合计110200（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？（2）现有nn()∈N+根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束．()i当n=3，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；221n−⋅−nn!(1)!()ii求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为．(2n)!n()ad−bc2附：K2=，nabcd=+++．(abcdacbd++)()(++)()20.1000.0500.0250.010PK()kk2.7063.8415.0246.635数学综合测试（一）试题第3页（共4页）{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}18．（17分）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN为6，且MN与x轴交于点(−2,0)．平行于x轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点(2,0)处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C，试判断C属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．（2）设曲线F为解析式同C的完整圆锥曲线，直线l与F交于A，B两点，交y轴于点H，交x轴于点Q8（点Q不与F的顶点重合）．若HQ=kQA=kQB，kk+=−，试求出点Q所有可能的坐标．12123exax19．（17分）已知函数fx()=+．2ex1（Ⅰ）当a=时，记函数fx()的导数为fx′()，求f′(0)的值．23（Ⅱ）当a=1，x1时，证明：fx()>cosx．2x（Ⅲ）当a2时，令gx()=e[a+−1f()]x，gx()的图象在xm=，x=nm()