东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的Ax2x13BxNx24x01.已知集合，，则AB（）A.B.C.00,,21,2D.01,,22【答案】C【解析】【分析】根据不等式解法求集合A,B，进而求交集.【详解】由题意可得：Ax2x13x1x2，BxNx24x0xN0x40,1,2,3,4，所以AB0,1,2.故选：C.1sincos2.已知tan，则（）2sin3cos2111A.B.C.D.3722【答案】B【解析】【分析】利用齐次式法求值，代入计算即可得答案.111sincostan11【详解】由于tan，故2.12sin3costan3372故选：B5π5π3.已知角的终边经过点sin,cos，则tan（）66第1页/共19页学科网（北京）股份有限公司33A3B.3C.D..33【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义计算．5ππ15ππ3【详解】sinsin，coscos，6626625πcos所以tan63，5πsin6故选：A．34.若函数fxalnxx既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围为（）xA.0,23B.,2323,C.,23D.23,【答案】D【解析】2【分析】求导，分析可知xax30有2个不相等的正根x1,x2，结合二次方程的根的分布列式求解即可.a3x2ax3【详解】由题意可知：fx的定义域为0,，且fx1，xx2x22若函数fx既有极大值也有极小值，则xax30有2个不相等的正根x1,x2，Δa2120则x1x2a0，解得a23，x1x230所以实数a的取值范围为23,.故选：D.3ex15.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fx，则下列说法正确的是（）ex1第2页/共19页学科网（北京）股份有限公司A函数fx有两个零点.ex3B.当x0时，fxex1C.fx0的解集是,ln3D.mR，x0R，使得fx0m【答案】D【解析】【分析】对于A：当x0时，令fx0，解得xln3，结合奇函数性质分析判断；对于B：根据奇函数定义求解析式；对于C：分析x0、x0和x0三种情况解不等式即可；对于D：根据解析式以及奇函数性质分析fx的值域，即可得判断.3ex1【详解】对于选项A：当x0时，fx，ex1令fx0，则3ex10，解得xln3，又因为函数fx是定义在上的奇函数，则ln3也为函数fx的零点，�当x0时，由奇函数性质可知f00，所以函数fx有三个零点，故A错误；对于选项B：若x0，则x0，3ex13ex由奇函数定义可得fxfx，故B错误；ex1ex13ex对于选项C：当x0时，fx，ex1令fx0，且ex10，可得3ex0，解得0xln3；且f00不满足fx0；3ex1当x0时，fx，ex1令fx0，且ex10，可得3ex10，解得xln3；第3页/共19页学科网（北京）股份有限公司综上所述：fx0的解集是,ln30,ln3，故C错误；3ex12对于选项D：当x0时，fx3，ex1ex122因为x0，则1ex10，可得2，即fx31，ex1ex1由奇函数性质可得：当x0时，fx1，且f00，可得fx的值域为，�所以mR，x0R，使得fx0m，故D正确；故选：D.6.定义在R上的函数fx的导函数为fx，若f10，fxfx，则不等式fx0的解集为（）A.0,B.1,C.0,1D.0,11,【答案】B【解析】fx【分析】构建gx，求导，利用导数判断gx的单调性，进而判断gx的符号性，即可得fxex的符号性.fxfxfx【详解】令gx，则gx的定义域为，且gx，exex�因为fxfx，即fxfx0，注意到ex0，可得gx0，f1可知gx在定义域内单调递增，且g10，e�当x1时，，即fx0；�����=e>0fx当时，gx0，即fx0；ex�<1所以不等式fx0的解集为.故选：B.1,+∞7.已知3m4，4ma4，2mb2，则下列说法正确的是（）第4页/共19页学科网（北京）股份有限公司A.abB.abC.abD.ab【答案】B【解析】【分析】已知变形得a(2m2)b，再证明2m20后即可得．【详解】则已知a4m4(2m2)(2m2)，b2m2，所以a(2m2)b，由3m4，则m1，因此b2m20，又2m21，所以a(2m2)bb，故选：B．18.若关于x不等式lnaxxb恒成立，则当ae时，eb1lna的最小值为（）e1A.1B.e1C.1D.ee【答案】C【解析】【分析】构建fxlnaxxb，分析可知fx的定义域为，且fx0在内恒成0,+∞10,+∞立，利用导数可得lnab1，整理可得eb1lnaalna，构建gaalna,ae，利用导数e求其最值即可.【详解】设fxlnaxxb，1因为ae，可知fx的定义域为，所以fx0在内恒成立，e11x0,+∞0,+∞又因为fx1，xx令，解得0x1；令，解得x1；′′可知��f>x0在内单调递增，在��<0内单调递减，0,11,+∞则fxf1lna1b0，可得lnab1，则eb1elnaa，可得eb1lnaalna，当且仅当lnab1时，等号成立，11a1令gaalna,ae，则ga1，eaa1令ga0，解得1ae；令ga0，解得≤a1；e1可知ga在1,e内单调递增，在,1内单调递减，则gag11，e第5页/共19页学科网（北京）股份有限公司即eb1lnaalna1，当且仅当a1,b1时，等号成立，所以eb1lna的最小值为1.故选：C.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若ba0，则下列不等式成立的是（）ab11A.aabbB.2ablogalogbab2C.22logD.2baba222【答案】AC【解析】【分析】对于AC：利用作差法分析判断即可；对于BD：举反例说明即可.【详解】因为ba0，则ba0，abbaab对于选项A：b0，即b；2222ababba，即；ab0ab222abaaba0，即aba；ab所以aabb，故A正确；2第6页/共19页学科网（北京）股份有限公司对于选项BD：例如a2,b4，满足ba0，111111因为,，即，故B错误；a2b4ab22因为2ba224,ba224，即2baba，故D错误；logalogb1对于选项C：因为22logablogab，2222ab又由选项A知，0ab，2logalogbab所以22logablog，故C正确；2222故选：AC.π210.已知sin，则下列说法正确的是（）33π5π1A.cosB.cos263395π2235C.cosD.若0,π，cos636【答案】BCD【解析】π【分析】以为整体，利用诱导公式、倍角公式以及两角和差公式逐项分析求解.3π2【详解】因为sin，33ππππ2对于选项A：coscossin，故A错误；63233πππ2π1对于选项B：cos2cos2πcos22sin1，故B正确；333395ππππ2对于选项C：coscossin，故C正确；63233ππ4π对于选项D：若0,π，则,，333π23πππ2π5且sin0,，则,π，cos1sin，33232333第7页/共19页学科网（北京）股份有限公司ππππ可得coscoscoscossinsin33335123235，32326235所以cos，故D正确；6故选：BCD.11.定义在R上的偶函数fx，满足fx=f2x，当x1,0时，fxx1，则下列说法正确的是（）A.f1020271Bf.223C.函数yfxx1的所有零点之和为50.11D.fe1fln1.1【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法判断A；推出函数周期求函数值，判断B；将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，判断C；结合函数单调性判断D.【详解】对于A，由于fx=f2x，令x1，则f1=f1,f10，A正确；对于B，fx为偶函数，即，结合fx=f2x，�−�=��得fx=f2x，即f2+xfx，故fx4fx，11故4为函数fx的周期，由x1,0时，fxx1得f，22202733111故ff4253fff，B正确；222222对于C，由于fx=f2x，故函数fx的图象关于点(1,0)对称，又fx为偶函数，则fx的图象也关于点(1,0)对称，第8页/共19页学科网（北京）股份有限公司结合4为函数fx的周期，当x1,0时，fxx1，作出函数fx的图象如图，3设yx1，则该函数图象关于点(1,0)对称，且函数在R上单调递增，3结合yfx,yx1的图象可知，二者有3个交点，且交点横坐标之和为3，3即函数yfxx1的所有零点之和为3，C错误；对于